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《平方差公式》典型例题 典型例题 　　例1　下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？ 　　（1） ； （2） ； 　　（3） ；? （4） ． 　　（5） 　　分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式． 　　解：（1）两个二项式的两项分别是 ， 和 ， 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式． 　　（2）这两个二项式的两项分别是 ， 和 ， ，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式． 　　（3） 与 ， 与 ， 与 ，没有完全相同的项，不能用平方差公式． 　　（4）两个二项式中， 完全相同，但 与 除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式． 　　（5） 与 ， 与 ，只有符号不同， 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式． 　　例2　计算： 　　（1） ； 　　（2） ； 　　（3） ； 　　（4） ． 　　分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算． 　　解：（1）原式 　　 　　（2）原式 　　 　　或原式 　　 　　 　　（3）原式 　　 　　（4）原式 　　 　　说明：1）乘法公式中的字母 ，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式． 　　例3　计算 ． 　　分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为 可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有 ，又有互为相反数的两项， 和 ，也可以直接用平方差公式计算，可得 ．④可变形为 ，得 ． 　　解：　 　　 　　 　　 　　或 　　 　　 　 　　说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如 ．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如 ，两因式中都有 ，并且 与 互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即 ． 　　例 4 利用平方差公式计算 ： 　　（1）1999×2001；? （2） ． 　　分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中， 　　解：（1）1999×2001= 　　（2） 　　 　　说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便． 　　例5? 计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a) 　　分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算. 　　解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a) 　　=2a2-ab-4ab+2b2-［(2a)2-b2］ 打括号 　　=2a2-5ab+2b2-(4a2-b2) 　　=2a2-5ab+2b2-4a2+b2 　　=-2a2-5ab+3b2 　　说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！ ?