二项式定理教学设计教案.docVIP

计数原理 备课人：焦阳 ●课题 二项式定理(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.“赋值法”. (二)能力训练要求 1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用. 2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题. (三)德育渗透目标 1.提高学生的数学素质. 2.树立由一般到特殊的意识. ●教学重点 1.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性：∵=, ∴当k＜时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n为偶数时，中间一项(第+1项)的二项式系数最大，最大值为. 当n为奇数时，中间两项(第项和第+1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为或. (4)各二项式系数和+++…++…+=2n. 2.“赋值法”在解题中的运用. ●教学难点 与二项展开式中系数最大项有关问题的求解. ●教学方法 发现法 ●教具准备 投影片一张. 内容：课本P107图10-9. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师生共同活动］ (a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…bn. Tr+1=an-rbr. Ⅱ.讲授新课 ［师］通项公式中的，我们称其为二项式系数，(a+b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3，…时，如下表所示： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 …… …… 不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. ［师］能用我们所学知识解释一下吗？ ［生］设这一数为,其肩上的数则为和，由组合数知识可知=+. ［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致. (打出投影片) ［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质. 同学们看出哪些性质？ ［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ［师］为什么呢？ ［生］因为=. ［师］还有什么性质？ ［生］增减性与最大值. 当k＜时，二项式系数是逐渐增大的； 当k＞时，二项式系数是逐渐减小的. 当n是偶数时，最大； 当n是奇数时, ,相等，且最大. ［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}. ［师］可以解释上述性质吗？ ［生］∵==·， ∴当＞1，即k＜时,＞1,即＞. 当＜1,即k＞时，＜1,即＜. ［师］还有其他性质吗？ ［生］∵(1+x)n=+x+x2+…+xr+…+xn, 当x=1时， 2n=+++…++…+， 即(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n. ［师］是否还可发现其他性质呢？ ［生］在(a+b)n的展开式中， 令a=1,b=-1,则可得 0=-+-+…=(++…)-(++…)， 即++…=++…. 也就是说，在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和. ［师］下面看怎样应用这些性质. ［例1］求(1+2x-3x2)5的展开式中的x5项的系数. ［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？ ［生甲］我认为可以将(2x-3x2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x5项的系数，最后通过求和得到所求. ［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x5项的系数有些烦琐. ［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路