双因素方差分析.ppt

第10章 方 差 分 析 10.3 双因素方差分析 单因素方差分析研究的是总体的均值受一个因素不同水平的影响．但在一些实际问题中，影响总体均值的因素不止一个，这些因素间还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多个因素的问题． 为简单起见，仅考虑两个因素的情况． 10.3 双因素方差分析 对于两因素问题，通常考虑等重复观测的情形，若第一个因素A有l个水平，第二个因素B有m个水平．在因素A的第i个水平和因素B的第j个水平下均进行了n次观测，记为{xijk，1≤i≤l，1≤j≤m，1≤k≤n}． 其数据结构如表所示． 10.3 双因素方差分析 10.3.1 无交互作用的双因素方差分析 无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示为： xijk= ? + ?i + ?j + ?ijk , 且相互独立. 1≤i≤l, 1≤j≤m, 1≤k≤n 其中?表示平均的效应，?i和?j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应，?ijk为随机误差，同样这里的随机误差也假定它是独立的并且服从等方差的正态分布． 无交互作用的双因素方差分析的数学模型可以表示为： xijk= ? + ?i + ?j + ?ijk , 且相互独立. 1≤i≤l, 1≤j≤m, 1≤k≤n 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设： H0A：?1 = ?2 = … = ?l， H1A：?1, ?2, …, ?l不全相等 要说明因素B有无显著影响, 就是要检验如下假设： H0B：?1 = ?2 = … = ?m， H1B：?1, ?2, …, ?m不全相等 与单因素方差分析类似，引进以下统计量： 总平均值： 组内平均值： 因素A平方和： 因素B平方和： 交互作用平方和： 误差平方和： 总离差平方和： 可以证明 SST = SSMA + SSMB+ SSMA*B + SSE 构造检验统计量 可以证明：在H0A成立时，检验统计量： 在H0B成立时，检验统计量： 对于给定的显著性水平?，H0A的拒绝域为： H0B的拒绝域为： 另外，若FA，FB统计量的观测值分别为FA0，FB0 则 当值P = P{FA ? FA0} ?时拒绝H0A,否则不能拒绝H0A 当值P = P{FB ? FB0} ?时拒绝H0B, 否则不能拒绝H0B 无交互作用的双因素方差分析表见表10-5． 其中MSA = SSMA/(l – 1)，MSB = SSMB/(m – 1)， MSE = SSE/(lmn – l – m + l)． 利用方差分析表中的信息，就可以对每个因素各水平间的差异是否显著做出判断． 【例10.3】为了提高一种橡胶的定强，考虑三种不同的促进剂(因素A)、四种不同分量的氧化锌(因素B)对定强的影响，对配方的每种组合重复试验两次，总共试验了24次，得到数据如表10.6所示． 试分析不同促进剂和不同份量氧化锌对橡胶的定强是否有显著影响. 要分析不同促进剂和不同份量氧化锌对橡胶的定强是否有显著影响，采用无交互作用的双因素方差分析，即要检验： H0A：不同促进剂对定强无影响， H1A：不同促进剂对定强有显著影响； H0B：氧化锌的不同分量对定强无影响， H1B：氧化剂的不同分量对定强有显著影响． 具体计算可以在Excel中进行（参见实验10-3）． 【实验10.3】在Excel中对例10.3作方差分析． 由于Excel的数据分析工具中没有“无交互作用的双因素方差分析”, 故采用公式计算法．分析步骤如下： (1) 将例10.2中数据输入Excel中，如图10.7所示． ( 2) 计算 ，在单元格C10中输入公式： =AVERAGE(C4:C9) 并将单元格C10中公式复制到单元格区域D10:F10． 计算 ，在单元格G4中输入公式： =AVERAGE(C4:F5) 并将单元格G4中公式复制到单元格G6、G8中． 如图所示． (3) 计算方差分析表： 输入自由度DF： 在单元格D14中输入2，D15中输入3， D16中输入18，D17中输入23． 计算平方和SSMA，在单元格E14中输入公式： =VARP(G4:G8)*24 计算平方和SSMB，在单元格E15中输入公式： =VARP(C10:F10)*24 计算平方和SST，在单元格E17中输入公式： =VARP(C4:F9