实数完备性定理地证明及应用.docVIP

PAGE PAGE 8 实用文案 标准文档 实数完备性定理的证明及应用 学生姓名：xxx 学号：20085031072 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：xxx 职称：副教授 摘 要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解. 并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质． 关键词：完备性；基本定理；等价性 Testification and application about Real Number Completeness Abstract: Completeness of the set of reel numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, To prove the equivalence of the six principle theorem is systematic discussion about it and make us acquire more recognition and understanding. At the same time, the theorem of completeness of real numbers testpfyies the several qualities of the continuous function in closed interval. Key Words: sigmacompleteness; fundamental theorem; equivalence 引言 在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理．在此，我们以实数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质. 1. 基本定义[1] 定义1 设是中的一个数集．若数满足： (1) 对一切，有，即是的上界； (2) 对任何，存在，使得，即又是的最小上界， 则称数为数集的上确界，记作=． 定义2 设是中的一个数集．若满足： (1) 对一切，有，即是的下界； (2) 对任何，存在，使得，即又是的最大下界， 则称数为数集的下确界，记作． 定义3 设闭区间列具有如下性质: (1) ，； (2) ， 则称为闭区间套，或简称区间套． 定义4[2] 设为数轴上的点集，定点(它可以属于，也可以不属于)．若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点． 其等价定义：对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为的一个聚点． 定义5 设为数轴上的点集，为开区间的集合(即的一个元素都是形如的开区间)．若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖．若中开区间的个数是无限(有限)的，则称为的一个无限(有限)开覆盖． 2. 六个定理及证明 定理1 维尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass聚点定理) 直线上的有界无限点集至少有一个聚点． 定理2 柯西收敛准则(又叫实数完备性定理) 数列收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某一个自然数， 使得时，都有． 定理3 确界原理 有上(下)界的数集必有上(下)确界． 定理4 单调有界定理 任何有界的单调数列一定有极限． 定理5 区间套定理 若是一列闭区间，，又设 (1) ，； (2) ， 则存在唯一的，． 定理6 有限覆盖定理(也叫海涅-波莱尔定理) 设是闭区间，为的一个开覆盖，则在中必存在有限个开区间，它构成的开覆盖． 3. 六个定理等价的证明 以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性． 维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准则确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理维尔斯特拉斯聚点定理． 3.1 维尔斯特拉斯聚点定理柯西收敛准则 证明 若对0，0，当时，．取=1．则0，当时，有1，则1+．令 =， 则对，都有．从而数列有界． (1)　若看作点集，是一个有限点集，至少有一项重复出现无穷多次，就以为项构成子列，则是常数列，必收敛．记，则 ． 即　　　　　　　　　　　　　　　． (2)　若构成无穷点集，由聚点定理必有一个聚点．由聚点定