自动控制原理（4）第四章 根轨迹法.pptVIP

第四章结束 ！ 由于根轨迹的对称性，对应于同一对极点（或零点）的出射角（或入射角）互为相反数。即有 式中φ=∑θz－∑θp为其他开环零、极点对出射点或入射点提供的相角。 根轨迹从复数极点出发的出射角为： 根轨迹到达复数零点的入射角为: 解上式，就可以求得根轨迹与虚轴的交点ω坐标，以及此交点相对应的临界参数Kc。 规则七 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚数的根。将s=jω代入特征方程，则有 例4-4 求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。 解 将s=jω代入例4－2所给出的系统的特征方程，可得 写出实部和虚部方程： 由此可求得根轨迹与虚轴的交点坐标为： 因为ω34对应的K小于零，所以舍去。因此，系统根轨迹与虚轴交点坐标为(0，4.5204j)和(0，－4.5204j)。 规则八 根轨迹的重心（适用于n－m≥2情况） 如果n－m≥2，闭环系统的特征方程为： 设闭环系统的极点为λi（i=1~n），于是闭环系统特征方程为： 比较上两式闭环系统的特征方程，得 即 可见，当n-m≥2时，系统的闭环极点之和等于开环极点之和。因此，在绘制根轨迹时，如果随着K1值增加，一些根轨迹向左方移动，必有另一些根轨迹向右方移动，以使闭环极点之和保持不变。 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 0 j 0 j 0 j j 0 0 j j 0 j 0 j 0 0 j j 0 j 0 j 0 j 0 0 j j 0 0 j j 0 n=1;d=conv([1 2 0],[1 2 2]);rlocus(n,d) n=[1 2];d=conv([1 2 5],[[1 6 10]);rlocus(n,d) 4.3 广义根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相。 绘制参数根轨迹的方法： 写出系统的闭环特征方程：1+G(s)H(s)=0; 变换该方程为：1+ K* G1(s)=0，其中K* G1(s)称为等效开环传递函数； 按照常规根轨迹法则，再绘制以K*为参变量的根轨迹。 一、参数根轨迹 解 写出系统的闭环特征方程： 等价开环传函为： 变形得： 例：对于开环传函为 的负反馈系统，试绘制其以Ks为参变量的根轨迹。 即 二、零度根轨迹（正反馈系统） 如果系统的特征方程的形式为：1－G(s)H(s)=0 其根轨迹叫零度根轨迹。 此时因为其相角遵循条件： 零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。 4.4 基于根轨迹法的系统性能分析 一、增加开环零、极点对根轨迹的影响 开环零、极点的分布决定着系统根轨迹的形状。如果系统的性能不尽人意，可以通过调整控制器的结构和参数，改变相应的开环零、极点的分布，调整根轨迹的形状，改善系统的性能。 1.增加开环零点对根轨迹的影响 例 两个单位反馈系统的开环传递函数分别为 试分别绘制两个系统的根轨迹。 增加一个开环零点使系统的根轨迹向左移动或弯曲； 相当于增大了系统阻尼，使系统的瞬态过程时间减小，超调量减小； 提高了系统的相对稳定性； 开环负实零点离虚轴越近，这些作用越显著； 若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时，构成偶极子，则二者作用相互抵消；因此，可以通过加入开环零点的方法，抵消有损于系统性能的极点。 由上例可见： 2.增加开环极点对根轨迹的影响 例 两个单位反馈系统的开环传递函数分别为 试分别绘制两个系统的根轨迹。 由上例可见： 增加一个开环极点使系统的根轨迹向右偏移； 相当于减小了系统的阻尼，系统的瞬态过程时间增加； 降低了系统的稳定性； 开环负实极点离虚轴越近，这些作用越显著。 二、控制系统的稳定性分析 稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数变化的情况，因此，由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化范围。 参数在一定范围内取值才能使闭环系统稳定，这样的系统称为条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例：设某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K＊取值范围。 解：利用根轨迹的绘制法则可绘出K＊从0变化到∞时系统的根轨迹如右图所示。由图可见，当0K＊14及64K＊195时，闭环系统是稳定的，而当14≤K＊≤64及K＊≥195时，系统是不稳定的。 三、控制系统的暂态性能分析 利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数改变时，闭环系