各种圆定理总结讲解.doc

托勒密定理 定理图 定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 　　 定理的提出 　　一般几何教科书中的“ HYPERLINK \t _blank 托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 证明 　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 　　因为△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 　　而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 　　所以△ABC∽△AED相似. 　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 　　所以命题得证 　　复数证明 　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 HYPERLINK \t _blank 复数 HYPERLINK \t _blank 恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边取 HYPERLINK \t _blank 模，运用 HYPERLINK \t _blank 三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一 HYPERLINK \t _blank 平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的 HYPERLINK \t _blank 反演形式。 　　二、设ABCD是 HYPERLINK \t _blank 圆内接四边形。 在 HYPERLINK \t _blank 弦BC上， HYPERLINK \t _blank 圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC HYPERLINK \t _blank 相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 　　三、 　　托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包 HYPERLINK \t _blank 矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 　　证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． 　　 推论 　　1.任意 HYPERLINK \t _blank 凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD HYPERLINK \t _blank 四点共圆时取等号。 　　2.托勒密定理的 HYPERLINK \t _blank 逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广 　　托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 　　简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 　　得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 　　注