数列通项公式求法(叠加-叠乘等)全面.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT - 1 - PAGE 数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。 ◆一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例1．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式. ②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. ◆三、累加（乘）法 对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。 例4. 若在数列中，，，求通项。 解析：由得，所以 ，，…，， 将以上各式相加得：，又 所以 = 在数列中，，（），求通项。 解析：由已知，，，…，，又， 所以=…=…= ◆四、取倒（对）数法 例6.．设数列满足求 解：原条件变形为两边同乘以得. ∵ ∴ 变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式； 证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2?n！ 若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。 已知数列{}满足时，，求通项公式。 已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a． ◆五、待定系数法： 1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。 例9、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。 解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1， ∴数列{ a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列 ∴a－2=－（） ∴a=2－（） 练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。 2、已知数列满足，且，求． 2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型． 、 例10．已知数列满足， ，求． 解：将两边同除，得 设，则．令 ．条件可化成，数列是以为首项， 为公比的等比数列．．因, ． ◆六：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 。 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。