同济大学《高等数学第五版》习题答案.pdf

习题 1− 1 1. 设A (−∞, −5)∪(5, +∞), B [− 10, 3), 写出A ∪B, A ∩B, A\B 及 A\(A\B) 的表达式. 解 A ∪B (−∞, 3)∪(5, +∞), A ∩B [− 10, −5), A\B (−∞, − 10)∪(5, +∞), A\(A\B) [− 10, −5). C C C 2. 设A 、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B) A ∪B . 证明 因为 C C C C C x ∈(A ∩B) ⇔x ∉A ∩B⇔ x ∉A 或x ∉B⇔ x ∈A 或x ∈B ⇔ x ∈A ∪B , C C C 所以 (A ∩B) A ∪B . 3. 设映射f : X →Y, A⊂X , B⊂X . 证明 (1)f (A ∪B) f (A)∪f (B); (2)f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 证明 因为 y ∈f (A ∪B)⇔∃x ∈A ∪B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 或x ∈B) y ∈f (A)或y ∈f (B) ⇔ y ∈ f(A)∪f (B), 所以 f (A ∪B) f (A)∪f (B). (2) 因为 y ∈f (A ∩B)⇒ ∃x ∈A ∩B, 使f (x) y ⇔(因为x ∈A 且 x ∈B) y ∈f (A)且y ∈f (B)⇒ y ∈ f(A)∩f (B), 所以 f (A ∩B)⊂f (A)∩f (B). 4. 设映射f : X →Y, 若存在一个映射g : Y→X , 使 , , 其中I 、I 分别是X 、 g f I f Xg I Y X Y Y上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I x x ; 对于每一个y ∈Y, 有I y y . 证明:f 是双射, 且g X Y 是f 的逆映射: g f − 1. 证明 因为对于任意的y ∈Y, 有x g(y ) ∈X , 且f (x) f [g(y )] I y y y , 即Y中任意元素都是X 中某 元素的像, 所以f 为X 到Y的满射. 又因为对于任意的x ≠x , 必有f (x )≠f (x ), 否则若f (x ) f (x ) ⇒g [ f(x )] g [f (x )] ⇒ x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y→X , 因为对每个y ∈Y, 有g(y ) x ∈X , 且满足f (x) f [g(y )] I y y y , 按逆映射的 定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y, A⊂X . 证明: − 1 (1)f (f (A))⊃A ; (2) 当f 是单射时, 有f − 1(