高中数学函数经典例题题详解.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 49 高中数学函数经典例题题详解值得拥有 二次函数 1已知二次函数，不等式的解集为． (Ⅰ)若方程有两个相等的实根，求的解析式； (Ⅱ)若的最大值为正数，求实数的取值范围． 1、解：（Ⅰ）∵不等式的解集为 ∴和是方程的两根 ∴ ∴ 又方程有两个相等的实根 ∴ ∴ ∴ ∴或（舍） ∴ ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∵， ∴的最大值为 ∵的最大值为正数 ∴ ∴解得或 ∴所求实数的取值范围是 - 2已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)=x有等根. （1）求f(x)的解析式. （2）问是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由. 解：(1) 依题设方程 ax2+(b-1)x=0有等根， ∴(b-1)2=0 得 b=1. 又 f(2)=0，即 4a+2b=0，得 ， 所以，. (2)由(1) , ∴ ，即. 而抛物线f(x)的对称轴为x=1，则f(x)在[m,n]上为增函数， （2）问是否存在实数m,n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由. 设m,n存在，可得： 　　即 ，得， 　　又 ，得 . 故存在实数m=-2,n=0，使f(x)的定义域为[-2,0]值域为[-4,0]. 3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)。 (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。 证明(1) 由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2) =4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0 ∴c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点。 解(2) 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则 x1+x2=－,x1x2=。|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 　 ∵abc,a+b+c=0,a0,c0 ∴a－a－cc,解得∈(－2,－) ∵的对称轴方程是 ∈(－2,－)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈() 4 设函数求证： （1）； （2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设是函数的两个零点，则 证明：（1） 又 又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b ∵a＞0 （2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c ①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且 ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 ②当c≤0时，∵a＞0 ∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点. 综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点 （3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 则的两根 ∴ 5已知二次函数. （1）若，试判断函数零点个数； (2)若对且，，试证明，使成立； (3)是否存在，使同时满足以下条件 ①对，，且y∈[0,+∞）；②对，都有. 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解（1）∵，∴ ，故 ， 当时，函数有一个零点； 当时，，函数有两个零点。 （2）令， 则 ∴ （）， ∴ 在内必有一个实根，即，使成立 （3） 假设存在，由①知抛物线的对称轴为，且， ∴，，∴ ，，从而 由②知对，都有, 令得, ∴ ,即, ∴ 由得,， 当,时，，其顶点为满足条件①，又对，都有满足条件②. ∴存在，使同时满足条件①、②. 解法2：假设存在，由①知抛物线的对称轴为，且， ∴，