任意角的三角函数教学设计（张春晓）.docVIP

PAGE / NUMPAGES 任意角的三角函数教学设计 福建师大附中 张春晓 一、教学内容解析 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张. 引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射. 本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程. 二、教学目标 知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用. 情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义. 难点：任意角三角函数概念的建构过程. 三、教学流程 1．复习 通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？ 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2．创设情境、引出主题 问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为,它的直径为，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点出发，求相对于地面的高度与时间的函数关系式. 师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度是怎样变化的? 师生：开始高度先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高， 最后回到初始位置；第二周，第三周，…，周而复始，呈现周期现象. 设计意图 以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题 的“周期性”特点. 师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？ 让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s后，人距离地面的高度是多少？ 生：. 师：你能对这个式子做一解释吗？ 生：表示水平位置距离地面的高度，表示距离水平位置的高度，即. 师：如果过了s呢？对上面式子做怎样修改？ 师生：将换成，即：.一般地，过了秒呢？猜想: 师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角， 该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数. 设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3．概念生成 师：当在水平但位置上方时，；当在水平位置下方时，，即： 与相比较，要想两者和谐统一，必须有：，即：. 师生小结：当点在圆周上运动时，随之变化，任一个，对应着唯一点，进而有唯一 ，得到：. 师：不过这样表述时，还是不够简洁,何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替， 使上述表示形式更简单？它的绝对值与的长度相等，符号在上方表示正的，下方表示负的. 生:引入直角坐标系，用点的纵坐标来替代或. 设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的. 师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为做圆，与角的终边交于点， 假设点坐标为，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，. 师：当是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？ 生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，，即，即. 师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切. 师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：， 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？ 生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点就唯一确定，比值随之唯一确定. 师：比值会随着点在终边上的变化而变化吗？ 生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的. 师：很好，任意给定唯一确定比值.那如果是任意角呢，我们不妨 假设此时终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是，坐标为， 显然，我们已经不能把放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当给定后，终边唯一确定， 其与圆的交点唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？ 生：另，则，， 师：此时点具有什么特点？ 生：点即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？ 生：是的，当给定时，点即