2-7_直纹二次曲面.ppt

证明: (1) 设M0(x0, y0, z0) 在单叶双曲面 S 上, 则 和 不全为零. 如果 , 令 令 则 M0 在 上. 则 M0 在 上; 7.2 单叶双曲面的直纹性 如果 , 令 令 (2) 证明非常复杂, 从略. (3) 第一部分: 任取I 中三条不同的直母线 则 M0 在 上; 则 M0 在 上. 7.2 单叶双曲面的直纹性 容易算出它们的方向向量分别为 因为 7.2 单叶双曲面的直纹性 ? 0, 7.2 单叶双曲面的直纹性 因此 不会平行于同一个平面. 类似可证 I ? 中三条不同的直母线也不会平行 于同一个平面. 第二部分: 任取I 中二条不同的直母线 它们的方向向量分别为 7.2 单叶双曲面的直纹性 分别取 上的点M1, M2, 因为 7.2 单叶双曲面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性 因此 异面. 7.2 单叶双曲面的直纹性 (4) 任取I 中的直母线 和I ?中的直母线 它们的方向向量分别为 分别取 上的点M1 和 上的点M2?, 7.2 单叶双曲面的直纹性 因为 7.2 单叶双曲面的直纹性 = 0, 因此 共面. (5) 由(3)和(4)可知. 7.2 单叶双曲面的直纹性 概括起来: 单叶双曲面恰有两族直母线 其中 s, t 不全为零. 7.2 单叶双曲面的直纹性 同族的任何三条不同的直母线都不平行于 同一张平面; 异族的直母线一定共面. 有如下特征性质: 方向向量可分别取为: 同族的两条不同直母线一定异面; 7.2 单叶双曲面的直纹性 单叶双曲面是直纹曲面. 上面有两族母直线族, 各族内母线彼此不相交, 而与另一族母线相交, 正是这种性质在技术中得到了应用. 例如, 用直立木杆造水塔, 如果把这些杆垂直地 放置, 那就只能得到一个很不牢固的建筑物, 它 会因为非常小的负荷而损坏. 如果立杆时, 使它 们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族), 并使 它们的交点处连接在一起, 就会得到一个非常轻 巧而又非常坚固的建筑物. 许多化工厂或热电厂 的冷却塔就是利用了这个原理. 7.2 单叶双曲面的直纹性 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种 构筑物。建在水源不十分充足的地区的电厂， 为了节约用水，需设置冷却构筑物，以使从冷 却器排出的热水在其中冷却后可重复使用。大 型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔. 英国最早使用这种冷却塔。20世纪30年代以来 在各国广泛应用，40年代在中国东北抚顺电厂、阜新电厂先后建成双曲线型冷却塔群。 7.2 单叶双曲面的直纹性 冷却塔由集水池、支柱、塔身和淋水装置组成. 塔身为有利于自然通风的双曲线形无肋无梁柱 的薄壁空间结构，多用钢筋混凝土制造，塔高 一般为75～110米，底边直径65～100米。双曲 线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小， 布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受 风力影响；它又比机力通风冷却塔维护简便， 节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高. 7.2 单叶双曲面的直纹性 例2 求单叶双曲面 (ac 或 bc) 上的正交的直母线交点的轨迹. 解: 为简化计算, 单叶双曲面的直母线族中的 双参数可以改为单参数如下: 7.2 单叶双曲面的直纹性 注意: lu 族比ls:t 族中缺少一条直线 l?v 族比l?s:t 族中缺少一条直线 7.2 单叶双曲面的直纹性 由单叶双曲面的直母线的性质可知 , 正交的直 母线必异族. 从中各自任取一条为: 其方向向量分别为: lu : ( a(u2?1), 2bu, c(u2+1) ) l?v : ( a(v2?1), ?2bv, c(v2+1) ) 7.2 单叶双曲面的直纹性 它们的交点坐标为 由于两直母线垂直, 所以 a2(u2?1)(v2?1) ? 4b2uv + c2 (u2+1) (v2+1) = 0, 即 a2 [(uv+1)2 ? (u+v)2] + b2 [(u?v)2 ? (u+v)2] + c2 [(uv?1)2