三角代换方法在求解不定积分中的应用.docx

山东农业工程学院学报 山东农业工程学院学报 2015正 第32卷 第4期 三角代换方法在求解不定积分中的应用 张明会，高婷婷 (陇南师范等等专科学校数信学院，甘肃成县742500) 摘要：数学变换方法是一种重要娥数学方法，三角代换也是其中一种重要的方法之一，不同形式的三角函数有理 式不定积分之间的知识既有联系也有区别。为了能充分体现这一点，文章主要讨论了各种三角函数有理式不定积 分在高等数学解题中的具体方法。有效培养师生的联想和类比能力，大大提高不定积分的运算能力。 关键词：黔东南；苗族婚姻习惯法；农民工；婚姻问题；法律救济 中图分类号：0151．2 文献标识码：A 文章编号：2095—7327(2015)一04—0046—02 一、引言 =手汁争赢t垢=丽+c 三角代换是利用三角函数的性质将要计算的不定积 分问题进行转换，使题目得以求解，实质上是换元的思 =丁a2∽s抚詈+争菇u忑r+G 想，体现了三角是数学中的工具。三角函数有理式不定积 例2计算f=』、／丢：芝i万如 分的计算是高等数学中常见的题型之一，也是不定积分 解： 的核心和难点之一．并且在现代工程理论中应用也非常 原式=J、／孓石；了F也垄壑三垡至』丝』、／丁cost 广泛。于是，在实际应用过程当，究竟应该用什么样的三 、／丁costdt 角形式进行代换就成了关键环节，本文通过几类典型的 例子．对不同形式的三角代换方法做了详细的论述。 =3／cos2tdt=手f专、／彳s眺、／蜀万抖c 二、几类三角代换及例题选讲 =手僦s流号争+手(斛，，丽+c 1．正弦代换：正弦代换主要是针对型如、石与丁(痧D) =手州s流号争+争(戈+，)田+c 的根式实施的；目的是去掉根号。方法是：令x=asint，有 2．正切代换：正切代换主要是针对型如、／丽(aO)的 V：_X2：伽∞￡，dx：nc∞￡咖t：nrcs讥生。 例1计算』、／瑟乏j瓦(DD) 根式实施的；目的去掉根号。方法是：利用三角公式 sec气一tan2t=l，即sec2t=l+tan2t，令x=atant，有： 原式垄三堡丝f acost·ctcotdt=a：2[COS2 、／丽=asect，dx=asec2tdt=arctan生。变量代换时，常 =争』(1+cos剐出=争(￡+争sin∽+c =丁a2(￡+sint佩)+c 用所谓辅助三角形法。 作者简介：张明会，男，甘肃康县人，陇南师范高等专科学校数学系讲师，研究方向：基础数学。 基金项目：陇南师范高等专科学校科研项目(2014LSZK02001)；陇南师范高等专科学校教学改革项目(JXGG2013003)。 ·46· 万方数据 例3计算』—=竺兰 例3计算』—=竺兰 由石：2sect,有cos￡：互，拄帆c。s 2。因此 、／(矿慨2)3 解：原式丝三!堡堕f：；凳务出=争』costdt=万1 sin+c j叭，石虿’i寿亍=上2眦c。s手+c 伍sec‘t 西 岱 我们用辅助三角形法进行变量还原，所谓辅助三角 4．万能代换：令￡=￡帆手，就有si加=名≯，c。s口= 形，是指一个边和角满足代换式的三角形，在本题中就 是满足条件tant=x的直角三角形。由该三角形的三边可 缶争，圳=各加器。 直接写出t的其它三角函数值。本题就有。眺： 兰。 例6计算』五i磊dO再：万 毗’斋2南心因此。 解：原式t=lal。争，盘专dt 、／∥+∥ 导f—_—L_T．?T 、／(矛懈2)’ 彳、／矿栅2 原式 例4计算’可舞 -』鲁=圳州j+c=抚卜手+小c 解：原式堡型·$ec勺2t出=』c。s锄=争(f+s；ntcost)SeC—— +c 注：需要指出的是，万能代换并不是万能的，也不一 0 Z 定是最简捷的解题方法，甚至有可能得不到正确结果，因 =手c伽t删+斋毛≥，+c 此，在求三角函数的不定积分时，应该先认真观察被积函 数的特点。根据被积函数的特点选择较为简单的解法进 =手(∽腑+奇)+c 行求解。而不要盲目使用万能代换。 本题中被积函数不含根号，但利用正切变换把变a2+ 矿换为三角函数这一特点，我们用正切代换把该积分化 参考文献： 成了=角甬狮的积俞诽行计笪． [1】华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)，北京：高等教 育出版社．2001年。 X [2】马振华编著，离散数学导引，北京：清华大学出版社，2006年． [3]裴礼文编著，数学分析中的典型问题与方法，北京：高等 教育出版社。2002年． a 【4]马振民吕克璞编著．微积分习题类型分析[M】．兰州大学 3．正割代换：正割代换主要是针对型如、／丽(Ⅱ 出版社。1999． 0)的根式实施的；目的是去掉根号。方法是：利用正切代 [5]张明会，高婷婷．恒等变换方法在数学分析中的应用【J】 换中提到的的三角