课件8-3全微分.pptVIP

二、可微的条件 小 结 * 第三节 全微分 一、全微分的定义 二、可微的条件 三、近似公式 一元函数 y = f (x) 的微分 1.近似计算 2.估计误差 应用 全增量的概念 称为函数在点P(x,y)对应于自变量增量 的全增量. 一、全微分的定义 一元函数 y = f (x) 的微分 全微分的定义 函数若在某区域D内各点处处可微分， 则称这函数在D内可微分. 函数偏导数存在 函数连续 函数f(x,y)在(x,y)可微分 函数在该点连续. 由微分定义 得 证 故函数 在点 处连续. 全微分公式 证 总成立, 同理可得 因此， 当 时，上式仍成立， 如果函数 在点 可微分, 此时 解 所求全微分 例1 计算函数 在点 处的全微分. 解 例2 求函数 当 时的全微分. 全微分公式 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 偏微分 偏增量近似 等于偏微分 有 解 所求全微分 例3 计算函数 的全微分. 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在 例如， 微分存在 全微分存在． 讨论全微分是否存在， 在点 处有 即 则 故函数在点 处不可微. 说明它不能随着 而趋于0, 若点 沿着直线 趋近于 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在. 偏导数 但函数在点 处不可微. 多元函数偏导数存在 全微分存在. 函数可导 函数可微 对于一元函数，有 偏导数存在 全微分存在. 要证函数可微分，即考虑 证 x的一元函数 由拉格朗日中值定理，有 因 在(x,y)连续，故 (无穷小) 同理， 当 时， 上二式相加,得全增量 其中 要证可微，只须证 因此， 即 当 时， 即 在点 是可微分的. 只须证 多元函数连续、可偏导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可偏导 三、近似公式 当 较小时，就有近似公式： 函数f(x,y)在(x,y)可微分，则 即 或