广义耦合KdV方程的达布变换及其精确解-孤立子与可积系统专业论文.docxVIP

摘 摘 要 孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题．本文，考虑广义耦合Korteweg-de Vries(KdV)孤子方程 J u￡=；[_责(f礼可)。z 4-(1+酱)钆$4-2u2—4uf】霉 I仇=一；‰一；(1n)盘霉4-2(uv)z-t-芋uz 本文第一部分介绍了最原始的达布变换和达布阵方法，以此为基础在下文中构造广 义耦合KdV孤子方程的三类达布变换． u=(丢}：荔A：仳)， y：f—A2+(；+青)让z+让2一赤(胁)zz 2u入+2u一％ 1． ＼ 2(f+；)A+2u(1 4-i)一警 A2一(互1 4-着)uz—u2 4-南(fnu)茁茁／ 其中U和V是两个势，A是一个常谱参数并且r，f是两个常参数． (U和驴及V和矿除了将“，u换成面，雷外，具有相同的形式) 如lna=一丢允ln(DⅣ一·) 和命题2．20t 和命题2．2 0t lnQ=(五1+里笋)(1nD．Ⅳ一。)zz+丢(fnDⅣ一。)：一¨(fnDⅣ一。)茁 +(丢+等)[f巾一学k+南(砌)xx+2(川) +2(v-面1 A¨$)蚀一t_(1+万2r+孚)uz． T=TcA，=a(三DB)， A=AⅣ+∑AkA七，B=∑BkA七，C=∑CkA七，D=∑DkA七 (Q，也，Bk，ck和Dk，(0≤k≤N一1)是z与t的函数) 并且进行了严格证明．接下来，从孤子方程的一个平凡解u和钞是常数并且v#O出发． 利用第一类达布变换生成了广义耦合KdV孤子方程的奇孤子解，llp,求得孤子方程的孤 子解中包含奇数2N一1个孤子．以平凡解u=0，u=；，r=0，2=一i1作为种子解，讨论 了前两种情形即N=1和N=2的情形．当N=2时，适当选择参数，作出了优美的 跣In=一言允ln(AN一1) 0t ln a=DN-lx--丢(1nAⅣ一，)zz一丢(1n4Ⅳ一·)：一u(2礼AⅣ一·)霉 一丽r忑‰+(轨A。N¨-1)∞z】+去‰一(№)z$】． 构造了第二类具有多参数的达布变换 T=TcA，=a(三DB)， 其中N一1 其中 N一1 七 Ⅳ A lI A 七 A B=∑BkA七， C = 瓯 入 D Ij + D七 A ¨∑脚 k=0 ¨∑脚 ¨∑脚 (o，Ak，Bk，仉和Dk(0≤k≤N一1)是。与亡的函数) 并且进行了严格证明．接下来，从孤子方程的一个平凡解钍和钉是常数并且v#O出发， 利用第一类达布变换生成了广义耦合KdV孤子方程的奇孤子解，即求得孤子方程的孤 子解中包含奇数2N-1个孤子．以平凡解U=0，={，r=0，f=一i1作为种子解，讨论 了前两种情形即N=1和N=2的情形．当N=2时，适当选择参数，作出了优美的 三孤子碰撞图像，并且雷的三孤子碰撞图像有两个峰，这是一种与2×2谱问题有关的 孤子碰撞图像的新类型． 第四部分考虑与第二部分相同Lax对，利用相同的方程及 命题4．1 魂ln(AⅣ)=丢跣ln(1+面r一鱼芦一巧了面r) 命题4．2 汕(AⅣ)=u岬+象一TCN-1一南)】留+扣1+刍一TCN-1 一而南面)】2+弘1(1+丽r—TCN-1一而去巧)】茁z +研i磊丽而vr石F丽忑(2心$一州+巩_1)】茁$)2u({一cⅣ一1)@+BⅣ一1)+2r曰Ⅳ一l r”z r”r’一川一u忙纠 一葡r k一(1ay)z爿+AMz． 构造了第三类具有多参数的达布变换 T叫栌A，BD)， A=AⅣ(AⅣ+∑AkA七)， B= 4 Ⅳ 昂k廿 Ⅳ c=石1c 2石备敛舻，N未-1敛以。=击(入D 2击(入 十 M∑脚M∑脚 Dk” (AⅣ，A七，玩，以和Dk(0≤k≤N一1)是X与t的函数) (AⅣ，A七，玩，以和Dk(0≤k≤N一1)是X与t的函数) 并且进行了严格证明．接下来，从孤子方程的一个平凡解u和可是常数并且v#O出发， 利用第三类达布变换生成了广义耦合KdV孤子方程的偶孤子解，即求得孤子方程的孤 子解中包含偶数2N个孤子．以平凡解U=o，V=互1，r=0，f=一{作为种子解，讨论了 前两种情形即N=1和N=2的情形．当N=1时，适当选择参数，作出了优美的二孤 子碰撞图像；当N=2时，适当选择参数，作出了优美的四孤子碰撞图像．并且面的四孤 子碰撞图像有三个或者四个峰，这是一种与2 X 2谱问题有关的孤子碰撞图像的新类型． 关键词：广义耦合KdV方程；达布变换；达布阵；孤子解 Abst Abst ract The soliton equation is one of the most prominent subject in the fields of nonliear science．In this paper，we consider the generalized c