关于TKK代数表示理论的研究-基础数学专业论文.docxVIP

摘要作为仿射Kac—Moody代数的自然推广，文[H-KT]引进了扩张仿射李代数 摘要 作为仿射Kac—Moody代数的自然推广，文[H-KT]引进了扩张仿射李代数 (EALA’S)的概念．随后，在文【BGK】和[AABGP]中，作者对扩张仿射李代数 进行了分类，发现它们不但涉及到多变量的罗朗多项式坐标代数，还涉及到特殊 的交错代数、Jordan代数及量子环面代数． 以多变量的罗朗多项式环为坐标代数的扩张仿射李代数，亦称为toroidal李 代数，对于其表示的研究有许多成果，如[MAY]，【EM】，【Bil】，【BB】等．量 子环面上的扩张仿射李代数的表示的研究成果也有很多(【Bs】，【G3，4，5】，[BGT]， 【Gz】)．在【BG司一文中，作者对量子环面上A型扩张仿射李代数的顶点算子 的主表示和齐次表示给出了一种统一的boson场实现． 文【AABGP]在刻划扩张仿射李代数的扩张仿射根系时介绍了半格的概念， 并由半格出发构造了一类以Jordan环面为坐标代数的Al型扩张仿射李代数， 即TKK代数．设s是p维欧氏空间f¨p≥1)中的离散子集，若s张成 R”，且满足0∈S， 一S=S。S+2S∈s(或S+S∈s)，则称S为 欧氏空间fr中的一个半格(或格)．设了=J(s)是对应于半格s冬Ir(1，≥ 1)的Jordan代数，利用Tits-Kantor-Koe出er构造法(【J】)，由此Jordan代数 j(s)可构造出李代数9(J(s))，即9(J(s))：=(sf2(c)o了)o Inder(J)，其中 lnder(ff)=[Lo，L爿，Lj为了的乘法算子的集合．我们称g(歹(s))的泛中 心扩张夕(7(s))：=(s12(C)圆J)oJ，J为TKK代数，其中只∥：= (Jo了)／，，_，=spanc{a圆b+b@a，abo c+bcod+∞o b，Va，b，c∈了． 若p=2，我们称由最小(非格)半格s￡fP构造出的TKK代数g(了(s))为 baby-TKK代数． 在文IT2]中，作者通过构造含有boson-fermion场的顶点算子及相应的Fock 空间给出了baby-TKK代数的一类顶点表示．我们知道二维欧氏空间R2中，在 同构意义下。只有一个格和一个非格半格。而格也是半格．本文第一章首先研究 了R2中的格所确定的TKK代数的结构，接着利用[BGT]中关于量子环面李 代数的顶点算子的构造方法，只需借助于群代数和对称代数即可给出这个TKK 代数的boson场实现．进而，通过分解顶点算子并对§1．3中定义的Fock空间加 以限制，我们得到了baby-TKK代数的两类boson-fermion场的表示，其中一种 覆盖了【T2】中的结果． 自由场的构造方法首先是Wakimoto在研究仿射Kac-Moody代数s12的顶 III 点表示时给出的([wa2])．Feigin和Frenkel将这一方法进行推广，应用于仿射 点表示时给出的([wa2])．Feigin和Frenkel将这一方法进行推广，应用于仿射 李代数鼠的顶点表示([FF】)．在[Gz】一文中，作者则利用自由场的思想，构 造了扩张仿射李代数912(C。)的一类高权表示．本文第二章将利用Wakimoto的 自由场方法，给出R2中的格所确定的Tits-Kantor-Koecher李代数的一个顶点 表示． 关键词。Tits-Kantor-Koecher李代数、TKK代数，Jordan代数、顶点算子 表示，自由场 IV AbstractThe Abstract The extended affine Lie algebras(EALA’S for shortl were first introduced in the paper【H-KT】as a natural generalization of affine Kac-Moody algebras． Subsequently,in ISGlq and[AABGP]，the authors classified for EALA’S and found that EALA’S allow not only the multiple variables Laurent polynomial rings aft their coordinate algebras but also certain alternative and Jordan algebras and the quantum toms as their coordinate algebras． The representations for EALA’S coordinatized by the multiple variables Lan- rent po