学科中的数学方法-桂林电子科技大学.ppt

第五章　　　 学科中的数学方法 在计算学科中，采用的数学方法主要是离散数学方法。本章首先简单介绍数学的基本特征及数学方法的作用。然后，介绍计算学科中常用的数学概念和术语，包括集合，函数和关系，代数系统（含群、环、格、布尔代数，布尔代数与数字逻辑电路等），字母表、字符串和语言，定义、定理和证明，必要条件和充分条件、证明方法、递归和迭代、公理化方法等内容。最后，介绍计算学科中的形式化方法，包括形式系统的组成、基本特点和局限性，形式化方法的定义，以及形式规格和形式验证等内容。 5.1 引 言 数学有连续数学和离散数学之分，离散数学源于算术，连续数学源于几何。自牛顿开创微积分后，连续数学就以微积分为基础，用连续的观点，对数学进行研究，对自然科学（如物理学等）的各种现象进行描述，从而成为人们认识客观世界的一个重要工具。 计算学科与物理等学科不同，它的根本问题是“能行性”问题。“能行性”这个根本问题决定了计算机本身的结构和它处理的对象都是离散型的，而连续型的问题只有经过“离散化”的处理后才能被计算机处理。因此，在计算学科中，采用的数学方法，主要是离散数学的方法。理论上，凡是能用离散数学为代表的构造性数学方法描述的问题，当该问题所涉及的论域为有穷，或虽为无穷但存在有穷表示时，这个问题一定能用计算机来处理。由于计算机的软硬件都是形式化的产物，因此，很自然的还可以得到一个这样的结论：凡是能被计算机处理的问题都可以转换为一个数学问题。 在对待数学的问题上，计算机科学家与数学家的侧重点不一样：数学家关心的是“是什么（What is it）”的问题，重点放在数学本身的性质上；计算机科学家则不同，他们不仅要知道“是什么”的问题，更要解决“怎么做（How to do it）”的问题。 由于传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体问题（特别是有关计算的本质即字符串变换的具体过程）关心不够。因此，在计算领域，人们又创造了基于离散数学的“具体”数学的大量概念和方法（如学科中的各种形式化方法）。 本章主要介绍数学的基本特征、数学方法的作用，计算学科中常用的数学概念和术语（集合，函数和关系，代数系统，字母表、字符串和语言，定义、定理和证明，必要条件和充分条件）、证明方法、递归和迭代、公理化方法、以及形式化方法等内容。 5.2 数学的基本特征 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。它具有以下3个基本特征： 1. 高度的抽象性 抽象是任何一门科学乃至全部人类思维都具有的特性，然而，数学的抽象程度大大超过自然科学中一般的抽象，它最大的特点在于抛开现实事物的物理、化学和生物学等特性，而仅保留其量的关系和空间的形式。 2．逻辑的严密性 数学高度的抽象性和逻辑的严密性是紧密相关的。若数学没有逻辑的严密性，在自身理论中矛盾重重，漏洞百出，那么用数学方法对现实世界进行抽象就失去了意义。正是由于数学的逻辑严密性，我们在运用数学工具解决问题时，只有严格遵守形式逻辑的基本法则，充分保证逻辑的可靠性，才能保证结论的正确性。 3．普遍的适用性 数学的高度抽象性决定了它的普遍适用性。数学广泛地应用于其他科学与技术，甚至人们的日常生活之中。 5.3 数学方法的作用 数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。数学方法在现代科学技术的发展中已经成为一种必不可少的认识手段，它在科学技术方法论中的作用主要表现在以下3个方面： 1．为科学技术研究提供简洁精确的形式化语言 人类在日常交往中使用的语言称自然语言，它是人与人之间进行交流和对现实世界进行描述的一般的语言工具。而随着科学技术的迅猛发展，对于微观和宏观世界中存在的复杂的自然规律，只有借助于数学的形式化语言才能抽象地表达。许多自然科学定律，如牛顿的万有引力定律等，都是用简明的数学公式表示的。数学模型就是运用数学的形式化语言，在观测和实验的基础上建立起来的，它有助于人们认识和把握超出感性经验之外的客观世界。 2．为科学技术研究提供数量分析和计算的方法 一门科学要从定性分析发展到定量分析，数学方法从中起了杠杆的作用。计算机的问世更为科学的定量分析和理论计算提供了必要条件，使一些过去无法解决的数学课题找到了解决的可能性。如原子能的研究和开发、空间技术的发展等都是借助于精确的数值计算和理论分析进行的。 3．为科学技术研究提供逻辑推理的工具 数学的逻辑严密性这一特点使它成为建立一种理论体系的手段，在这方面最有意义的就是公理化方法。数学逻辑用数学方法研究推理过程，把逻辑推理形式加以公理化、符号化，为建立和发展科学的理论体系提供有效的工具。 5.4 计算学科中常用的数学概念和术语5.4.1 集合 1．集合的概念 集合是数