2017届人教A版--------利用导数研究函数零点专题----考点规范练[14页].docVIP

个人收集整理 勿做商业用途 PAGE2 / NUMPAGES2 封 面 作者：ZHANGJIAN 仅供个人学习，勿做商业用途 第五课时　利用导数研究函数零点专题 【选题明细表】 知识点、方法 题号 通过最值(极值)判断零点个数 2,3,7,8 数形结合法研究零点问题 1,5 构造函数法研究零点问题 4,6 1.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.文档来自于网络有哪些信誉好的足球投注网站 解:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a0时,对x∈R,有f′(x)0, 所以当a0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当a0时,由f′(x)0, 解得x-或x. 由f′(x)0,解得-x, 所以当a0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),单调递减区间为(-,). (2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0, 所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1, f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1, 在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图像可知, 实数m的取值范围是(-3,1). 2.已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 解:(1)由f(x)=x2+xsin x+cos x, 得f′(x)=x(2+cos x). 因为y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切. 所以f′(a)=a(2+cos a)=0且b=f(a), 则a=0,b=f(0)=1. (2)令f′(x)=0,得x=0. 所以当x0时,f′(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x0时,f′(x)0,f(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以f(x)的最小值为f(0)=1. 因为函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调, 所以当b1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点. 综上可知,b的取值范围是(1,+∞). 3.(2016长春模拟)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数. (1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围; (2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论. 解:(1)f′(x)= QUOTE -a≤0在(1,+∞)上恒成立, 则a≥ QUOTE ,x∈(1,+∞),故a≥1; g′(x)=ex-a, 若1≤a≤e, 则g′(x)=ex-a≥0在(1,+∞)上恒成立, 此时,g(x)=ex-ax在(1,+∞)上是单调增函数,无最小值,不合题意; 若ae,则g(x)=ex-ax在(1,ln a)上是单调减函数,在(ln a,+∞)上是单调增函数,g(x)min=g(ln a),满足题意.文档来自于网络有哪些信誉好的足球投注网站 故a的取值范围为(e,+∞). (2)g′(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)上恒成立,则a≤ex, 故a≤ QUOTE ,f′(x)= QUOTE -a=(x0). ①若0a≤ QUOTE , 令f′(x)0,得增区间为(0, QUOTE ); 令f′(x)0得减区间为( QUOTE ,+∞). 当x→0时,f(x)→-∞; 当x→+∞时,f(x)→-∞; 当x= QUOTE 时,f( QUOTE )=-ln a-1≥0, 当且仅当a= QUOTE 时取等号. 故当a= QUOTE 时,f(x)有1个零点; 当0a QUOTE 时,f(x)有2个零点. ②若a=0时,则f(x)=ln x,易得f(x)有1个零点. ③若a0,则f′(x)= QUOTE -a0在(0,+∞)上恒成立, 即f(x)=ln x-ax在(0,+∞)上是单调增函数, 当x→0时,f(x)→-∞; 当x→+∞时,f(x)→+∞. 此时,f(x)有1个零点. 综上所述,当a= QUOTE 或a≤0时,f(x)有1个零点; 当0a QUOT