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2010-2015年高考真题汇编 专题6 数列 考点5 数列的综合应用 1.(2015年安徽17,12分)设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)记,证明:. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析。 【解析】(Ⅰ)由题意, 所以曲线在点处的切线方程为 当时,.……………5分 (Ⅱ)由题设中和(1)中的计算结果知 当时, 当时,, 所以 . 综上可得对任意的 均有 ……………12分 2.(2015年广东21,14分)数列满足:. (1)求的值; (2)求数列的前项和; (3)令证明:数列的前项和满足. 【答案】 【解析】 (1) 3.(2015年四川16,12分)设数列的前项和,且成等差数列。 (1)求数列的通项公式; (2)记数列的前项和,求得使成立的的最小值。 【解析】 (1)当时有, ,则 , () ,则是以为首项,2为公比的等比数列。 又由题意得 ,则 (2)由题意得 , 由等比数列求和公式得 ,则 。 又当时, ,成立时,的最小值的。 4.(2015年浙江20,15分)已知数列满足=且=-(n) (1)证明:1(n); (2)设数列的前n项和为,证明(n). 【答案】(1)略;(2)略 【解析】 (1),所以数列为递减数列,即; 又,所以,则 , ,由,得,,即,1 (2) 所以要证,只需证明, 即证,即,也即证明, 即证; ,, ,,即 若,则,,,, 即 若,则,,,, 即,,即得证。 5.(2015年重庆22,12分) 在数列中,,. (Ⅰ) 若,,求数列的通项公式; (Ⅱ)若,,证明:. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)略 【解析】(Ⅰ)解:由,有。 若存在某个,使得,则由上述递推公式易得。重复上述过程可得,与矛盾,所以对任意。 从而,即是一个公比的等比数列。故。 (Ⅱ)证明:由,数列的递推关系式变为,变形为。 由上式及,归纳可得 。 因为,所以对求和得 另一方面,由上已证的不等式知,得 综上,。 6.(2014安徽,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________. 【答案】1 【解析】 法一:因为数列{an}是等差数列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差数列,又a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常数列,故q=1. 法二:因为数列{an}是等差数列,所以可设a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),得d2+4d+4=0,即d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1. 7.(2014天津,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________. 【答案】-eq \f(1,2) 【解析】由已知得S1·S4=Seq \o\al(2,2),即a1·(4a1-6)=(2a1-1)2,解得a1=-eq \f(1,2). 8.(2014浙江,5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)=eq \f(1,3)|sin 2πx|,ai=eq \f(i,99),i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3.则( ) A.I1I2I3 B.I2I1I3 C.I1I3I2 D.I3I2I1 【答案】B 【解析】选B 显然f1(x)=x2在[0,1]上单调递增,可得f1(a1)-f1(a0)0,f1(a2)-f1(a1)0,…,f1(a99)-f1(a98)0,所以I1=|f1(a1)-f1(a0)|+|f1(a2)-f1(a1)|+…+|f1(a99)-f1(a98)|=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+…+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)-f1(a0)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(99,99)))2-0=1.f2(x)=2(x-x2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(49,99)))上单调递增,在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(50,99),1))上单调递减,可得f2(a1)-f2(a0)0,…,f2(a49)-f2(a48)0,f2(a50)-f2(a49)=0,f2(a51)-f2(a50)0,…,f2(
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