华东师范大学19972011年数学分论试题及解答.pdfVIP

华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题 一（12分）设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x) 在区间I上严格单调。 二（12分）设 1,x为有理数 D (x )  0，x为无理数 证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则 f (0) 0 三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： ab a b 2 a b (ab) (a 0,b 0)   四（16 分）设级数an n 收敛，试就dn 为正项级数和一般项级数两种 n 1 n 1  情况分别证明 an n  n 也收敛。 n 1 五（20 分）设方程F (x , y ) 0 满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数 y=f(x)。又设 F (x , y ) 具有连续的二阶偏导数。 （1） 求 f (x ) 1 （2） 若 F (x , y ) 0, y f (x ) 为f(x)的一个极值，试证明： 0 0 0 0 当F (x , y ) 与F (x , y ) 同号时，f (x ) 为极大值； y 0 0 xx 0 0 0 当F (x , y ) 与F (x , y ) 异号时， f (x ) 为极小值。 y 0 0 xx 0 0 0 （3） 对方程 x 2 xy y 2 27 ，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x) 的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。 六（12分）改变累次积分 4 x 2 0 4 I d x 4 x 8 ( y  4 )d y   2 x 的积分次序，并求其值。 七 （12分）计算曲面积分 I ( x 2 co s   y 2 co s   z 2 co s  )d s s 2 2 其 中 s 为 锥 面 z x y 上 介 于 0 z h 的 一 块 ， cos,cos ,cos为s的下侧法向的方向余弦。 2 华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题 一． 简答题（20分） 3 n 2  2 3 （1） 用定义验证： lim