理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT - 2 - 第一章 质点力学 1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： 式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 解 ：由题可知，变加速度表示为 由加速度的微分形式我们可知 代入得 对等式两边同时积分 可得 ：（为常数） 代入初始条件：时，， 故 即 又因为 所以 对等式两边同时积分，可得： 1.8 直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为 式中为椭圆的半长轴，为偏心率，常数。 解：以焦点为坐标原点 则点坐标 对两式分别求导 故 如图所示的椭圆的极坐标表示法为 对求导可得（利用） 又因为 即 所以 故有 即 （其中为椭圆的半短轴） 1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。 证：质点作平面运动，设速度表达式为 令为位矢与轴正向的夹角，所以 又因为速率保持为常数，即 为常数 对等式两边求导 所以 正交. 1.11 质点沿着半径为的圆周运动，加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化规律。出速度为。 解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示 两式相比得 即 对等式两边分别积分 即 此即质点的速度随时间而变化的规律 1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正 上升时 下降时 题1.19.1图 则两个过程的运动方程为： 上升 ① 下降： ② 对上升阶段: 即 对两边积分 所以 ③ 即质点到达的高度. 对下降阶段： 即 ④ 由③=④可得 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 ，， 解 （a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式 所以此力是保守力，其势为 (b)同（a），由 所以此力是保守力，则其势能为 1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有势能：＜0 试求中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较； 求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。 解 （a）因为质子与中子之间引力势能表达式为 故质子与中子之间的引力 （b）质量为的粒子作半径为的圆运动。动量矩 由（a）知 提供粒子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向， 故 当半径为的圆周运动 两式两边同乘以 即 又因为 有 做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。 所以 1.43 质点所受的有心力如果为 式中及都是常数，并且＜，则其轨道方程可写成 试证明之。式中（为积分常数）。 证 由毕耐公式 质点所受有心力做双纽线运动 故 故 1.44证 由毕耐公式 将力带入此式 因为 所以 即 令 上式化为 这是一个二阶常系数废气次方程。 解之得 微积分常数，取，故 令 所以 第二章习题. 2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。 有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.2 如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加设均匀球体的密度为。 则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。代入质心计算公式，即 2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。 解 因为质点组队某一固定点的动量矩 所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩= 2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当