利用mathematica解偏微分方程.pdfVIP

第七章 数学物理问题的Mathematica 求解 §7.1 偏微分方程的解析解 1．一阶偏微分方程的通解 Mathematica 中的DSolve 命令也可以用来求偏微分方程的通解，使用格式为DSolve [偏微 分方程，未知函数,{ 自变量}]。例如，求一阶偏微分方程u +u 0 的通解，命令语句为 x y DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] 0,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 {{u[x,y]→C[1][-x+y]}} 注意其中的C[1]是一个任意函数，而不是常微分方程通解中的任意常数。上面的结果可以写成 我们更习惯的方式 u(x, y) C ( y =−x) 1 上例中的一阶偏微分方程是线性齐次的，现在我们再看一个线性非齐次的偏微分方程 ux +uy 1/(xy ) ，求解的命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] 1/(x y),u[x,y],{x,y}] 输出结果为 ::u @x, yD→ −Log @xD+Log @yD+x C @1D@−x +yD−y C @1D@−x +yD x −y 上面的结果可以写成 −ln x +ln y +x ⋅C (y −x ) −y ⋅C (y −x ) ln x −ln y ( , ) 1 1 ( ) − − u x y C1 y x x −y x −y 结果中的第一项为对应齐次方程的通解，第二项为非齐次方程的特解。 下面再看一个非线性的一阶偏微分方程u +u u2 ，求解的命令语句为 x y DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] u[x,y]^2,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 1 ::u @x, yD→ −x −C @1D@−x +yD 上面的结果可以写成 1 u(x, y) −x −C1( y −x) 72 2 ．二阶偏微分方程的通解 现在，我们来看二阶偏微分方程的求解。例如求波动微分方程 2 的通解，命令语 u a u tt xx 句为 DSolve[D[u[t,x],t,t]a^2 D[u[t,x],x,x],u[t,x],{t,x}] 输出结果为 ##### ##### ::u @t, xD→ C @1DB− a2 t +xF+C @2DB a2 t +xF 注意现在通解中有C[1]和C[2]二个任意函数，由于Mathematica 不知道参数a 的性质，因而未 对 a2 进行化简。设a0 ，写成习惯的形式为 u(x,t) C (x =−at) +C (x +at) 1 2 按照方程的要求，这两个任意函数都应