华罗庚学校数学教材(五年级上)第02讲质数、合数和分解质因数.pdfVIP

本系列共15讲 第二讲 质数、合数和分解质因数 第二讲 质数、合数和分解质因数 第第二二讲讲 质质数数、、合合数数和和分分解解质质因因数数 . 与你的缘 与你的缘 文档贡献者：与与你你的的缘缘 一．基本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也 叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的 质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵ 210=2×3×5×7 ∴ 可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多 少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵ 17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴ 所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个 合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最 多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶 数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只 有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是 合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘 积相等。 解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2× 7）放在第一组，那么 7和6（=2×3）只能放在第二组，继而 15（=3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。 ∴ 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的 平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。 分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560，40 ×40×40=64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30~40 之间。 解：42560=2 ×5×7×196 =2×（5×7）×（19×2）5 =32×35×38（合题意） ∴ 要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7：有三个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10。 求a×b×c是多少？ 解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。 ∴ (a×b)×(b×c)×(a×c) =(2×3)×(3×5)×(2×5) 2 2 2 2 2 2 ∴ a×b×c=2×3 ×5 ∴ (a×b×c)=(2×3×5)2 2