常微分方程课程教学大纲-辽宁普通高等学校本科专业信息平台.PDFVIP

《常微分方程》课程教学大纲 Ordinary Differential Equations 课程编号：0070307048 适用专业：数学各专业 执 笔：马永峰 适用年级：09-14级 一、课程的性质和教学目的 课程性质：专业基础课必修课程。在教学培养计划中列为主干课。 教学目的：本课程属于应用数学专业和信息与计算科学专业本科生专业基础必修课程。在培养学生的 教学计划中，定位不但是数学的基础课程, 同时也是将以前所学的知识融会贯通，将理论知识与实际问题相 结合的专业课程，对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大帮助。通过学习本课程，应使学生掌握解 微分方程的基本思想和基本方法，用掌握的理论和方法解决工程问题中的一般问题和计算求解。 二、课程教学内容 常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等方法，一阶微分方程的解的存在性定理，高阶微分方程， 线性微分方程组，非线性微分方程和稳定性。 三、课程教学的基本要求 第一章 绪论 了解微分方程的导出和基本概念。 第二章 一阶微分方程的初等方法 主要介绍变量可分离方程、齐次方程、线性方程、贝努利方程、全微分方程和一阶隐方程的解法。 重点是变量可分离方程、一阶线性微分方程和全微分方程。要求熟练地掌握判定方程所属类型及其解 法。 第三章 一阶微分方程的解的存在性定理　 本章主要介绍一阶微分方程解的存在唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续依赖性与可微 性定理，重点讲解一阶方程解的存在性与唯一性。要求学会证明解的存在与唯一性定理，会用皮卡逼 近法求近似解，理解解对初值的连续性定理、解对初值的可微性定理的条件和结论。　 第四章 高阶微分方程 本章主要讲解n n 阶线性微分方程的性质及其通解结构，常数变易法， 阶常系数线性微分方程的 解法，刘维尔公式及其应用，拉普拉斯变换，幂级数解法大意。重点掌握齐次和非齐次方程解之间的 关系，解的结构和形式，求解方法。 第五章 线性微分方程组　 本章主要讲解线性微分方程组解的性质、通解、刘维尔公式。重点是线性微分方程组解的性质与 常系数线性微分方程组的解法。要求学生掌握线性微分方程组的通解结构定理，会求由两个或三个方 程组成的常系数线性方程组的解。重点掌握基解矩阵，求解公式，级数解。 第六章 非线性微分方程和稳定性 本章主要介绍定性理论和稳定性理论的一些基本概念，特别是定性理论和稳定性理论产生的实际 背景，从中了解如何创立新的数学方法来解决新问题的。重点是初等奇点的分类、掌握线性和非线性 的本质区别、稳定性的基本概念和方法。了解稳定性的基本思想，理解其思想方法以及与其它课程之 间的关系，掌握部分比较容易的内容。 四、课程教学环节 教学环节包括：课堂讲授、习题课、课外作业。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生 的自学能力、动手能力、分析问题解决问题的能力。 （一） 课堂讲授 1.教学方法与手段 教学方法上尽量采用启发式、讨论式教学、精讲多练，注重理论联系实际。各章中平行的内容可安 排学生自学，以提高学生独立思考和解决问题的能力。更新教学内容，改进教学方法，培养学生的动手 能力和创新能力。在条件成熟时采用电子教案、CAI 课件，以提高课堂信息量，增加教学的直观性。 2. 计算机的应用 在布置课外作业时可适当安排利用计算机解答有关侧重于计算的部分题目（用 Mathematica 或 Maple 软件）。 （二）习题课、课外习题 1.习题课：根据教学需要，要适当安排习题课、课外习题。 2.学生必须独立、按时完成课外习题，习题和作业完成情况应作为评定课程学习成绩的 10%。 （三）考 核 本课程考核的形式可根据课程内容而决定，同作业、平时测验、闭卷考试相结合的方式进行，着 重对知识的理解和应用，尽量避免死记硬背的考试，在教学中，通过习题的布置，使学生深入理解基 本原理及概念，