2015年考研数学讲义（共计14讲）.pdfVIP

15 1 4 年考研数学第 — 讲（序言四讲） 1 . 第 讲 入门先在概念中 “木桶原理”已经广为人所知晓。但真要想在做件事时找到自身的短处，下 意识地有针对性地采取措施，努力求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 选择考研的非数学专业学生在数学方面有何“短板”呢？ 1。概念意识 非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠 叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，一开始就有，点的邻域，函数，极限，连续，可导， 可微，等重要概念，特别是函数概念，将在学习《高等数学》过程中不断拓展深 化。其中，经济类考生要重点深化两次，即学习 由（某已知函数的）极限式生成的函数 ； （某函数的）变上限定积分函数 ； 数学一考生还要多一次。即学习，函数项级数的和函数 。 在大学《线性代数》的第一知识板块中，基本内容是向量集合，矩阵集合与 集合中的运算。最重要的概念是向量组的秩，矩阵的秩。而第二知识板块中， 主要概念则是方阵的特征值与特征向量。 在大学《概率统计》中，基本概念有样本空间，事件，概率，相互独立， 随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量，数字特征，分布函数，样 本，统计量，……等。第一重要的概念是分布函数。 《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率统计》需要学生有较好的《高等 数学》基础。重要的是熟悉定积分与二重积分基本算法。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概 念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感 到数学难学的关键。 1 . 例 概念的能动作用示例 《线性代数》的前置概念是“方程（组）的解（根）”。 “如果把一个数（或向量）代入方程（组），方程（组）就化为恒等式， 则这个数（或向量）就是方程（组）的解（或解向量）。” 这是初等数学的内容。 熟悉这一概念的学生，在《线性代数》中学到，诸如 “齐次线性方程组AX = 0 的两个解向量的和，乃至任意有限个解的线性 组合，仍然是它的解。” “非齐次线性方程组AX = b 的两个解向量的和，通常就不再是它的解。” 之类的内容时，往往会有“（必要时）把和向量（或线性组合）代入方程组验 “ ” 证”的下意识冲动。这就是 概念意识 带来的思维能动性。概念意识越深，这 1 种思维能动性越强。 很多学生没有“方程（组）的解（根）”的概念，他们眼前就只有几行中 文字。 历史的概念学习欠债，使这些学生学习《线性代数》严重地先天不足。 向思 维则愈加困难。 A 看到恒等式（ － λE）α= 0 时，他们自然联想不到， “向量α是齐次 A 线性方程组 （－ λE）X = 0 的非零解”。 遇到矩阵积 A B = 0 ，学生更想不到，这表明 “矩阵B 的每一个列 （向 A 量）都是齐次线性方程组 X = 0 的解”。也就无法往下推理。 （潜台词： “你也许就是这样的。”） 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课 时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生 的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“与大一那会儿学的不一样 啊。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。