第4讲正弦型函(学生版).docVIP

第4讲　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 基础梳理 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示 x eq \f(0－φ,ω) eq \f(\f(π,2)－φ,ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(\f(3π,2)－φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝eq \f(2π,ω)叫做周期，f＝eq \f(1,T)叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)成轴对称图形． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk，,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形． 一种方法 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝eq \f(M－m,2)，k＝eq \f(M＋m,2)，ω由周期T确定，即由eq \f(2π,ω)＝T求出，φ由特殊点确定． 一个区别 由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 两个注意 作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 双基自测 1．y＝2的振幅、频率和初相分别为(　　)． A．2，eq \f(1,π)，－eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,4) C．2，eq \f(1,π)，－eq \f(π,8) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,8) 2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)． A．T＝6π，φ＝eq \f(π,6) B．T＝6π，φ＝eq \f(π,3) C．T＝6，φ＝eq \f(π,6) D．T＝6，φ＝eq \f(π,3) 3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(　　)． A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x 4．设ω＞0，函数y＝＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)． A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D．3 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________. 　　 考向一　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 【例1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝eq \f(\r(3),2). (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 【训练1】 已知函数f(x)＝3，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 考向二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】?(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________． 【训练2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． 考向三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例3】?(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq \f(π,2))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上的一个最低点为M (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\