定积分课件(梁淑莲.pptVIP

移项： 当c在区间[a,b] 之外时： 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分 o x y a c b 例1 解 O X Y 1 2 1 利用定积分的几何意义，可分别求出 O X Y 1 2 1 性质4 o x y a b 1 性质5 推论 性质6　（定积分估值定理）设M和m分别是?(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值，则 证明： 例2 解 性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b] 上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 证明 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有 , 使下式成立 即 数值 介于f(x)在[a,b]上的最大值 M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定 理,至少存在一点 ,使得 即: 性质7的几何意义： 在 上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的矩形的面积. O X Y a b 习题六 1、一曲边梯形由曲线 轴 及 围成， 试列出用定积分表示该曲边梯形的面积 的表达式。 解： 作直线运动， 2、一物体以速度 试列出时间间隔 内该物体所走过的 路程S的定积分表达式。 解： 3、利用定积分的几何意义，计算下列各题 （1） O X Y 1 1 2 O X Y O X Y K a b O X Y 2 -2 4、设 是 上的 单调增加的有界函数，证明 证明： 由性质6，得 单调增加 * 第六章 1 0 x y y=x2 本章基本内容 1 定积分的概念与性质 2 定积分基本公式 3 定积分的积分法 4 广义积分 本章学习目的 理解定积分的概念和意义， 掌握定积分的运算规则和性质 熟练掌握和应用牛顿---莱布尼兹公式 熟练掌握定积分的计算方法 了解无限区间上广义积分的定义和计算 一、定积分问题举例 例1. 求曲边梯形的面积 b o x y a 图6－1 y = f (x) 注: 设 y = f (x)在区间[a, b] 上非负、连续。 由直线 x = a, x = b, y = 0, 及曲线 y = f (x) 所围成的图形,称为曲边梯形。 其中曲线弧称为曲边. 第一节 定积分的概念与性质 曲边 (1) 分割： 分析： （2）取近似： （3）求和 ： b o x y a 图6－1 y = f (x) (1) 分割： b o x y a 图6－1 y = f (x) 分析： （2）取近似： （3）求和 ： （4）取极限： b o x y a y = f (x) (1) 分割： 将[a, b]分成 n 个小区间, 称为子区间. 过每个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，设其面积为?Ai(i=1，2,…,n). 记分点为 （2）取近似：在每个小区间[xi-1 , xi]上任取一点?i， b o x y a y = f (x) （3）求和 ： 所有小矩形的面积和， 即得曲边梯形面积A 的近似值 b o x y a y = f (x) 即: （4）取极限： 使每个小区间的长度趋于零 ， 例2. 变速直线运动的路程. 设某物体作变速直线运动. 已知速度V = V(t)是 时间间隔[a, b]上 的连续函数. 计算在这段时 间内物体所经过的路程 S. 分析：对于匀速直线运动， V = V(t)是常数， 用匀速运动近似代替变速运动，求出路程的近似值，通过取极限，算出所求路程。具体过程如下： 此时，路程=速度X时间。现在，速度不是常数 而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在 较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿照上例，将时间间隔[a, b]分割，在每一小段内， (1) 分割：匀速直线运动. 路程＝速度×时间 在[a, b]内任意插入若干个分点 [a, b]分成 n 个小段： [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ] （2）取近似：在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点?i 由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为?Si （3）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近 似值，即 将时间间隔[a, b]分得越细, 近似公式越精确. 即: （4）取极限： 的极限就是所求的路程。 例1与例2小结 例1曲边梯形面积为 例2变速直线运动的路程为 以直代曲 以匀速代非匀速 ?求曲线弧的长度: ?求变力作功： 设质点m受力变F的作用沿x轴由点a移至点b，并设力F平行于x轴。求变力F对质点所作的功W？ o x a b