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PAGE \* MERGEFORMAT 9 高考选择题的运算问题 陕西省旬邑县中学 杜海洋 一、典例剖析 例1已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）。 . . . . 解法一：如图，以为轴，以的中垂线为轴建立 平面直角坐标系，由题设知，，，， 设，则，， ，， ， 当，即为中点时，取最小值。 解法二：记的中点为，则，,而，当且仅当与反向时上式取“”， 与反向时，， 当且仅当，即为中点时，上式取“”，故 取最小值。 例2在中，， ，。若，， 且，则的值为 。 解法一：， ， 由于，，， 所以，。 解法二：如图，以为轴，以过与垂直 的直线为轴建立平面直角坐标系，由题设知， ，，，， ，， ，， ，。 例3如图，已知平面四边形， ，，，与 交于点。记，，，则（ ）。 . . . . 解：分别过点作的垂线，垂足分别记为， 由平面向量数量积的几何意义知， ， ， ， 显然，，， ，即。 二、解后反思 1、基底意识：选取基底解答题目的本质是将题目中涉及到的所有向量用基底统一起来，化繁为简，化未知为已知,体现了转化与划归的数学思想。用基底表示向量的理论根据是平面向量基本定理；基本的策略有平行四边形法则、三角形法则、回路法等。 2、坐标意识：通过坐标将图形问题转化为代数计算问题，根据题设合理选择坐标系可以简化计算。 3、代数化意识：向量是沟通几何、代数、三角的重要桥梁，在向量运算中常常通过 将向量运算问题转化为数量运算问题。 4、图形意识：依据图形分析向量问题可以将问题直观化，同时在探究思路时可以利用向量的图形运算法则进行思考。 三、对点练习 1、如图，在一个平面内，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为。若， 。 解：由得，，如图， 过点分别作，的平行线，交， 的延长线 于点，，在中，，， ，，， 由正弦定理得，，解得， 由余弦定理得，即，解得，。 2、在矩形中，，，动点在以为圆心且与相切的圆上。若，则的最大值为（ ）。 . . . . 解法一：如图，分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 在中，由得，， 设，，， ，， 由得，，， （）， 所以的最大值为。 解法二：, ，即，在以为中心，以为长轴，以为短轴的椭圆上，令，此问题转换为一个线性规划问题，当直线与椭圆相切时，取到最值，将直线的方程代入椭圆的方程化简得， ，令化简得， 解得，，所以的最大值为。 3、已知向量满足，则的最小值为 ，最大值为 。 解法一：，当且仅当与反向，即与反向时，上式取“”，此时取最小值； ，当且仅当，即时，上式取“”，此时取最大值。 解法二：设，，， 令，，， ，当时，为增函数，当时，，为减函数，又为偶函数， 所以，，， 所以，的最小值为，最大值为。 高考选择题的运算问题--练习题 1. 已知，，，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于 （ ） 2. 已知点在圆上运动，且。若点的坐标为，则的最大值为 （ ） 3.在平面内，定点，，，，满足， ，动点，满足，，则的最大值是 （ ） （A） （B） （C） （D） 4.在等腰梯形中，已知∥，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 。 5已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，则 ， ， 。 练习题解析 1. 解法一：， ， ，分别为为，方向上的单位向量，，将条件代入上式整理得， ， 当且仅当时上式取等号，的最大值等于13。 解法二：上同解法一， 画出草图易求得，代入上式即可求解。 解法三：根据题意画图，如图所示， 由条件可知， ，，，， ，， 当且仅当时上式取等号，的最大值等于13。 2. 解法一：根据题意画图，如图所示， ， 当点的坐标为时，取最大值，最大值为7。 解法二：上同解法一，， 当与同向时上式取等号。 解法三：由题意可设的坐标分别为 （）， ，， 当且仅当时上式取等号。 3. 解法一：构造符合题意的图形，如图所示，是边长为的等边三角形的外心，点在以为圆心以为半径的圆上，为的中点， ，