多边形与圆稿(数学竞赛).docVIP

【几何十讲】 多边形与圆-A 基本内容与方法 托勒密定理，西姆松定理，圆幂定理，密克定理，斯特瓦尔特定理，牛顿定理，巴斯加定理，布利安桑定理 例、过等腰三角形的底边所在直线上的任意一点作直线，分别交直线于，过的中点作平行于的直线，分别交直线于； 证明：的外接圆共点；且此四个圆心共圆． 证明：如图，设的外接圆圆心分别为，半径为，又设中，的中点为，则是直线与平分线的交点．作∥，在直线上，则构成平行四边形，，所以 ， 因此． 据四边形内接于，，，由托勒密定理， ，即 ，故，因此，点在上，且 是的直径，也是的公共弦． 据，可知分别共圆，故是的外接圆共点． 再设的外接圆圆心分别是，因这两圆也分别是直角和的外接圆，所以分别是的中点；由于也是的弦， 所以，则共圆；因是的公共弦和的直径，，所以共圆，因此五点共圆． 例、中，高，为垂心，是的中点， 证明：． 证：记，是的中点，， 由斯特瓦特定理， ，所以． 例、中，分别是其三条边的中点，边的中垂线分别交中线于，（互异），若直线 ，； 证明：． 证：如图，易知共圆，为此圆直径，且点是的外心． 设，用表示三角形面积，则因是中点，，即 ，所以…①， 由于点是的外心，…② 又在中，，， ，所以， ，因此共圆； 在中，，即， 在中，，即 由①得， 又据共圆，，且， 所以，…③ ， 因此，． 即有． 例、如图，圆（圆心为）与直线相离，作，为垂足.设点是上任意一点（不与点重合），过点作圆的两条切线和，和为切点，与相交于点. 过点作，，和为垂足. 求证：直线平分线段. 证明：作,为垂足, 记为直线与线段的交点. 易知 , 故 均在以线段为直径的圆周上. 由于, 所以由定理知: 的外接圆上一点在其三边的垂足三点共线，即四点共线. 因为, 所以QO||PI, 所以, 又因为四点共圆，也四点共圆，所以 所以在直角三角形中, , 故为的中点， 因此直线平分线段. 例、如图，且∥∥，是上的任意一点，直线； 证明：三点共线． 证：点分别在直线上， 由于， ， ；而 ． 故由梅尼劳斯逆定理，三点共线． 例、在凸五边形中，已知，且 四点共圆． 证明：四点共圆的充分必要条件是． 证明：必要性：若共圆，则由 ，得，，所以，故得； 充分性：记所共的圆为，若，则圆心在的中垂线上，设点关于的对称点为，则在上，且因，即，所以不共点，且≌，又由， 知≌，因此， ≌，故由，得共圆，即点在上，也即点在上，从而共圆． 例、凸六边形内接于，若 （的半径），分别为三边的中点； 求证：为正三角形． 证：连，并设为这两线段之中点，由于为等腰梯形，则 ，（因且）， 又因中位线，所以，同理得，又注意 ，， 所以，因此≌，故得， 同理得，，因此为正三角形． 例、等腰三角形中，以底边的中点为圆心，作分别切两腰于，是下半圆弧上的任意一点，过作的切线，与的延长线分别交于，过作平行于的直线，交的延长线于； 证明：三点共线． 证：如图，用同一法，设直线，由于点是的内心， 若记，，，则，， 作，交于，则共圆，得 ，而，故有，两对直角三角形对应相似，即 ∽，∽； 且∽；由此得，，又由∥，得， 因此有，，由此得， 故∥，而由条件，∥，且点在上，故共点， 所以三点共线． 例、为外接圆的直径，为延长线上的一点，直线与 边分别相交于； 求证：为的切线当且仅当为平行四边形． 证：如图，取的中点，则． 假若为的切线，则四点共圆， ，而， 由此，∽；又由，则∽； 于是，因此，即为平行四边形． 反之，若为平行四边形，则，， 因此∽，而分别是其对应边的中点，所以∽； 于是，得共圆，所以． 因此为的切线． 例、个等圆依次外切（即与相切，，约定）,且都内切于. 自上的任意一点，分别作这个圆的切线. 证明：这条切线之长可以分成和相等的两组. 证：将改为任一不小于的奇数，我们来证明，此时有. 引理. 设奇数，是正边形外结圆上的任一点，则 证：时结论显然；考虑的情况，据对称性，不妨设，在劣弧上，记 正边形的边长为，作对角线（，约定），并设它们的长度皆为.(如图所示) 在圆内接四边形中，由托勒密定理， ，即 …① 在圆内接四边形中，由托勒密定理， ，即…② 在圆内接四边形（）中，由托勒密定理， ，将此式两边乘以，再对从到求和，得 ，即 …③ 将①②③相加，得 ，即 ，而 ，则有 . 引理. 内切于，两圆半径分别为，是上的任意一点，切于，则 . 证：如图，在直角三角形中，， 在中，由斯特瓦特定理， 则，即 . 回到本题，设切于，是上的任意一点，则由引理， ，又据引理，，，因此， . 特别是，当时，有 ，即 例、给定七个圆，其中六个小圆含于一个大圆内，每个小圆都与大圆相切，且与相邻的两个小圆相切，若六个小圆在大圆上的切点顺次为； 证明：三线共点． 证：设大圆的半径为，各小圆的半径为，如下图