初三圆周角和圆心角之间关系讲义和练习.docVIP

Ⅰ．背景材料 分类讨论思想 当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法． 分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论． 悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？ Ⅱ．课前准备 一、课标要求 经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归纳等数学思想．通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算．通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法． 二、预习提示 1．关键概念和定理提示 关键概念：圆周角． 重要定理：圆周角定理及两个推论． 2．预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会． 三、预习效果反馈 1．试找出图3-3-1中所有的圆周角． 2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°，求∠OBC． 3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°，求∠ABC度数． Ⅲ．课堂跟讲 一、背记知识随堂笔记 （一）必记概念 1．圆周角：顶点在 ，并且 的角． 2．圆周角的两个特征：（1） ；（2） ． （二）必记定理 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 2．推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ． （三）知识结构 二、教材中“？”解答 1．问题（P100） 解答：这三个角大小相等． 2．议一议（P101） 解答：∠ABC=∠AOC．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部． 3．问题（P102） 解答：如果∠ABC的两边不经过圆心，结果一样．对于图（1）中，圆心O在∠ABC的内部，作直径BD，利用小亮的结果，有∠ABD＋∠CBD=∠AOD＋∠COD∠ABC=∠AOC． 对于书上图（2）中，圆心O在∠ABC的外部，作直径BD．利用小亮的结果，有∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD∠ABC=∠AOC． 4．问题（P104） 解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC、∠ADC、∠AEC是同弧（）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等． （2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°． （3）这一问题与问题（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB，OC．因为圆周角∠BAC=90°，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是说BC是⊙O的一条直径． 5．议一议（P105） 解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想． 6．做一做（P106） 解答：（1）船位于暗礁区域内（即⊙O内）． 理由是：假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能位于⊙O外． （2）船位于暗礁区域外（即⊙O外）说理方法与（1）类似． 三、重点难点易错点讲解 圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点． 圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点． 圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．