微分方程模型实验.docVIP

PAGE 1 PAGE 121 微分方程模型实验 [学习目标] 会求放射性废物处理问题中的微分方程； 能求解阻滞增长人口模型中的微分方程； 会进行油气产量和可采储量预测问题中的计算； 能求解价格竞争问题和除雪机除雪问题中的微分方程。 放射性废物处理问题 问题 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知圆桶重量为239.46kg，体积为0.2058m3， 海水密度为1035.71 kg /m3。如果圆桶速度小于12.2m/s，就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。 问题建立的模型 圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程： （1） （2） 考虑受到的阻力，这时圆桶的速度应满足如下的微分方程： （3） 模型的解答 根据方程（1）和（2），加上初始条件v|t=0=0，s|t=0=0，以及题设的初始数据。通过Mathematica就可以求出圆桶的位移和速度的方程，具体步骤如下： m=239.46；v=0.2058；g=9.8；p=1035.71；k=0.6； Chop[DSolve[{m s″[t] = = m g – p g w – k s′[t]， s[0] = = 0，s′[0] = = 0}， s[t]，t]] DSolve[{m* v′[t] = = m g – p g w –k v[t]， v[0] = = 0}，v[t]，t] 得出位移的方程为： s（t）= - 171511+429.744t+171511e-0 （4） 速度的方程为： v（t）= 429.744 - 429.744e-0 （5） 通过方程（4）及s（t）= 90m，利用下面Mathematica程序： FindRoot[90 = = - 171511+429.744t + 171511/Exp[0 ]， {t，13}] 求出时间t = 13.002s，再把它代入方程（5），求出圆桶的速度为v=13.7729m/s。 显然，此时圆桶的速度已超过12.2m/s，可以得出这种处理废料的方法不合理，美国原子能委员会已经禁止用这种方法来处理放射性废料。 根据方程（3），加上初始条件v| t=0 = 0，可利用下面的Mathematica程序： DSolve[{m v′[t]= = m g-p g v –k （v[t]）^2， v[0] = = 0}，v[t]，t] 求出圆桶的速度：v（t）=。 若把题设中F，k（仍设为0.6的话）和m的值代入上式，可得圆桶的速度为： v（t）=20.7303Tanh（0.0519426t） 这时若该速度要小于12.2m/s，那么利用Mathematica可得圆桶的运动时间就不能超过13s，位移不能超过84.8m。对应的Mathematica源程序如下： FindRoot[20.7303*Tanh[0.0519426t]= =12.2， {t，12}] （*求时间*） Integrate[20.7303*Tanh[0.0519426t]， {t，0，13}] （*求位移*） 从这个模型，我们也可以得出原来处理核废料的方法是不合理的。 阻滞增长人口模型 假定人口数量p（t）满足微分方程p′=ap-bp2（这是最为著名的Logistic人口模型），以下使用Mathematica解这个方程，源程序如下：