哈尔滨工程大学矩阵论习题答案.pdf

第一章 习题 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）次数等于n （n  1）的实系数多项式的全体，对于通常多项式的加法和数乘。 2 V a, b a, bR  （）令 对如下定义的加法 “ ”和数量乘法 “ ”，  k (k 1) 2  a ,b  a ,b a a ,b b a a k a ,b  ka ,kb  a  1 1  2 2   1 2 1 2 1 2 ， 1 1  1 1 2 1  ；   （3 ）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘； 4 V x x c sin t  c sin 2t   c sin kt, c  R,0  t  2 V （）设 1 2 k i ， 中元素对于 通常的加法与数乘； （5 ）全体n 阶上三角实矩阵 （对称阵），对于矩阵的加法和数量乘法； （6 ）设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式f (A) 的全体，对于矩阵的加法和 A n A 数乘； 1 解答：（ ）不是线性空间，因为不满足封闭性； （2 ）显然 非空，且 对加法和数乘满足封闭性，接着我们验证是否满足8 条。 V V 先设 a ,b , a ,b , a ,b ,及k,t R ， 1 2 2 2 3 3 ① αβ β α a a ,b b a a ；  2 1 2 1 2 1  ② (  )  (a a ) a ,(b b a a ) b (a a )a ， 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 a a a ,b b b a a a a a a  1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3  (  ) a (a a ),b (b b a a ) a (a a ) 1 2 3 2 2 3 2 3 1 2 3 ； a a a , b b b a a a a a a  (  )  1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3 ③  0,0 ,  a 0,b 0 a 0 a ,b  ；    1 1 1   1 1   2  ④