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泛函分析基础及其力学应用思考 河海大学2013 级 摘要：泛函分析是一门探讨不同领域问题本质和共性的学科，它的追本溯源特征有助于认 清具体问题得数学本质。本文对泛函分析的基本内容进行了梳理，并讨论了其在力学中的一 些具体应用，如：无穷维自由度系统的描述、变分原理、广义函数的应用。 关键词：泛函分析、理论支撑与指导、力学应用、变分原理； 1. 引言 泛函分析是一门探讨不同领域问题本质和共性的学科，它对各种具体学科、具体模型的 共性进行了抽象概括和升华。泛函分析的追本溯源特征直指各个具体学科领域问题的基础和 本质，通过对泛函基础理论的学习和领悟，可以加深个人对于所研究领域问题的理解，有助 于认清问题得数学本质，有助于研究者进行开拓式创新。本文对泛函分析的基本内容进行了 梳理，并对其力学应用进行了一些讨论 。 2. 泛函分析基础 泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函， 算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。其中线性泛函分析是 发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理” 和广义函数理论。 2.1 抽象空间理论 抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。 度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质， 即称为一个距离。 定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间， 泛函中的收敛性与范数有关。进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即 完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共 轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。 内积空间是定义了内积运算的线性空间。完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert） 空间，Hilbert 空间具有良好的性质。 2.2 线性算子理论 最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性 空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。几个重要的线性算子：距离空间上的连续 映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与 自共轭算子。 2.3 线性泛函分析的“四大定理” Hahn-Banach 泛函延拓定理，该定理研究了如何讲一个算子保范数的从一个子空间延拓 到整个空间；共鸣定理（一致有界定理），该定理描述一族有界算子的性质；逆算子定理描 述的是两个Banach 空间之间相互的算子都是线性有界的；闭图像定理是通过图像定义的闭 算子和闭集，说明算子的有界性。 1 / 4 2.4 广义函数 广义函数是某个指定空间上的线性连续泛函。古典函数在描述物理问题中（如在原点放 置一个单位质量的质点，求证过数轴上的质量分布线密度）和偏微分方程的求解中存在局限 性，因此产生了Dirac 函数和偏微分方程的广义解，这都是广义函数的产物。广义函数是古 典函数的推广，它的出现从根本上改变了函数概念。如果定义在各点的函数只是一些物理量 的近似描述，则广义函数就成为描述很多物理现象的更自然的工具，推动了科学研究的进展。 3. 泛函分析的力学应用 3.1 力学问题在无穷维空间中的描述 泛函分析是研究无穷维空间和它里面的分析数学的数学分支。无穷维空间是反映无穷维 自由度的系统的数学概念，它是从解决实际问题的需要产生的，即质点力学中的有穷维自由 度系统问题到连续介质力学中的无穷维自由度系统问题。 通过数理方程，使泛函分析在力学问题上发挥了重要作用。在无穷维空间中取值的实变 量函数乃是描述连续介质的力学性质的自然数学工具。从另一个角度看，这种函数可看做是 赋范线性空间中的随机元，则赋范线性空间上的微分方程也就成为描述连续介质力学中运动 的工具。 3.2 泛函极值问题与 Hilbert 空间算子理论、正交函数系理论的力学变分原理中的应用 首先给出泛函中定义的变分原理：设A 为Hilbert 空间H 上的自伴正算子，考虑 H 上