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ALG 不等式与导数压轴题 贾勇 高考导数压轴题常常出现含有自然对数的底数e ln 的函数，设计一个与不等式相关 的问题，如证明不等式、比较大小、求参数取值范围及函数最值等，像这样的不等式问题可 以尝试用ALG 不等式解决. 一、ALG 不等式介绍 x +x x −x 若记A 1 2 , L 2 1 , G x x , 则A,L ,G 分别是正数x ,x 的算术平均、 2 ln x −ln x 1 2 1 2 2 1 对数平均、几何平均值.所谓ALG 不等式指的是A L G 。现将对数形式的ALG 不等式 的介绍如下： 在图1 中，C 为AB 中点，线段CD ⊥x 轴，点D 在函数f (x ) e x 图象上，过D 的切 线交BM 于点E ，交AN 于点F. 设A(a ,0) B (b,0),a ≠b, 则直角梯形面积SABMN 曲边梯形面积SABMDN 直角梯形面 b a a+b b a b a a+b e +e b e +e e −e 积 x 2 2 这 SABEF , ⇔ (b −a) e dx e (b −a), ⇔ e (a ≠b). 2 ∫a 2 b −a 是ALG 不等式的指数形式 （此形式2013 年陕西高考压轴题中出现过）. 如果令 （则 ） b ln x , a ln x , a 0,b 0, a ≠b 2 1 b a b a a+b e +e e −e x +x x −x 那么 2 1 2 2 1 [1] e ⇔ x x ⇔ A L G 成立 . 1 2 2 b −a 2 ln x −ln x 2 1 二、证明函数不等式 ALG 不等式在导数压轴题中常常用到，先看看在函数中的重要地位，如： 例1 （2012 年辽宁高考理数）设 （ 为常 f (x ) ln(x =+1) + x +1 +ax +b a,b ∈R, a,b 3 数），曲线y f (x ) 与直线y x 在(0,0) 点相切. 2 9x （1）求a,b 的值；（2 ）证明：当0 x 2 时，f (x