高中数学数学归纳法课件.pptVIP

课题引入 不完全归纳法 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时， 一定都是质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现 ＝4 294 967 297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 举例说明： 一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= 猜测an＝? 由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的 所以由不完全归纳法得到的结论不一定可靠 1 1 1 1 猜测是否正确呢？ 2.3 数学归纳法 问题情境三 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 （1）第一块骨牌倒下；（基础） 定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 当n取第一个值n0 (n0 ?N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做______________。 数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下： 这种证明方法叫做数学归纳法 (1)证明当n取第一个值n0 时命题成立 完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立 (2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立 （基础） （依据） 验证n=n0时命题成立 若n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立. 归纳奠基 归纳递推 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立. 证明： (2)假设n=k时猜想成立即 1 k = ak 思考：你认为证明数列的通项公式 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 （1）第一块骨牌倒下。 （2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。 根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。 已知数列 证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。 例 证明： 数学运用 递推基础 递推依据 ②假设当n=k时等式成立，即 那么,当n=k+1时，有 这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何n?N*等式都成立。 例2、用数学归纳法证明： 1+3+5+…+(2n-1)＝n2 (2)假设n＝k时，等式成立，即 (1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立； 1+3+5+…+(2k-1)＝k2 那么当n＝k+1时， ∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立 需要证明的式子是? 1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1） ＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） ②　 “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 　　命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 　　方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。 思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？ 解:设n＝k时成立，即 这就是说，n＝k+1时也成立 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时