2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷和试卷解析.docVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页） 2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷 　 一、解答题（共13小题，满分0分） 1．已知： （1）a＞0 （2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1； （3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2． 求常数a、b、c． 2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI． 3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n的最大值是多少？并证明你的结论． 4．已知=8，则2x+4y﹣z+6=　 　． 5．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是　 　． 6．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=　 　． 7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有　 　种． 8．已知方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为　 　． 9．在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是　 　． 10．已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°．那么∠OAD=　 　． 11．代数式++达到最小值时，x、y的值分别为　 　． 12．如果2006个整数a1，a2，…a2006，满足下列条件：a1=0，|a2|=|a1+2|，|a3|=|a2+2|，…，|a2006|=|a2005+2|，那么，a1+a2+…+a2005的最小值是　 　． 13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成．一栋面积为Nm2的房子的地上部分费用与N成正比，基础部分费用与成正比．已知一栋3600m2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么，要建造若干栋相同的住房，使面积为8000m2的总造价最小，则每栋住房的面积的平方米数应是　 　． 　 2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷 参考答案与试题解析 　 一、解答题（共13小题，满分0分） 1．已知： （1）a＞0 （2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1； （3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2． 求常数a、b、c． 【分析】由已知：a＞0，ax+b有最大值2，就知道ax+b是一个升函数，当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2，就可以求出a+b的值为2，然后根据当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1，就可以求出c的值，最后根据x的范围确定二次函数的最小值为﹣1，这样由二次函数的顶点坐标公式就可以求出b值，从而求出常数a、b、c的值． 【解答】解：当a＞0时，ax+b的值随着x取值的增大而增大， 所以x=1时，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2 令x=0，则|c|≤1，即：﹣1≤c≤1 令x=1，则|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1， 所以﹣3≤c≤﹣1 故c=﹣1． 令y=ax2+bx+c，则抛物线y=ax2+bx+c必过（0，﹣1） 因为当﹣1≤x≤1时，﹣1≤ax2+bx+c≤1，所以该二次函数的最小值是﹣1， ∴ ∴4ac﹣b2=﹣4a ∵c=﹣1 ﹣4a﹣b2=﹣4a ∴b=0 ∴a=2 所以a=2，b=0，c=﹣1． 【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了一次函数的图象特征，用不等式组求解的特殊方法的运用以及二次函数的顶点公式的运用． 2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI． 【分析】因I是内心，故，=．又因AB=8，BC=6，CA=4，所以AC+AB=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明． 【解答】证明：∵I是内心， ∴，=． 又∵AB=8，BC=6，CA=4 ∴AC+AB=2BC， ∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC． 又∵DC=DI（内心性质）， ∴AD=2DI． 而O是外心， ∴OI⊥AI． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质． 3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至