2.4函数的微分及其应用.pptxVIP

2.4 函数的微分及其应用 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。一、问题的提出——近似计算问题?实例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由变到,问此薄片面积改变了多少? ?即再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:是否所有函数的改变量都可表示为Dy?ADx?o(Dx) ?线性函数 ADx 中的 A 是什么?二、微分的定义 如果函数 y?f(x) 的增量可表示为Dy?f(x0?Dx)?f(x0)?ADx?o(Dx)? 其中 A 是与 Dx 无关的常数, 则称函数 y?f(x)在点 x0可微.而 ADx 叫做函数 y?f(x) 在点 x0 相应于自变量增量 Dx 的微分? 记作 dy? 即dy?ADx? (微分的实质)?定理2.4 函数在点处可微函数在点处可导，且即 函数 y?f(x) 的微分: dy?f ?(x)Dx? 自变量的微分 dx=(x)?Dx=Dx? 自变量 x 的微分 dx 等于增量 Dx , 即 dx?Dx? 函数 y?f(x) 的微分更习惯地记作 dy?f ?(x)dx? NP0三、微分的几何意义 当 x 从 x0 变到 x0+Dx 时? Dy 是曲线上点的纵坐标的增量; dy 是过点 (x0? f(x0)) 的切线上点的纵坐标的增量. 当 |Dx| 很小时? |Dy?dy| 比 |Dx| 小得多? 于是微分的几何意义: 用切线小段 MP 近似代替曲线小段 MN? 四、微分的在近似计算中的应用 在实际问题中，经常利用微分作近似计算. 当函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)≠0，且|Δx|很小时，函数微分可作为函数增量的近似值，有近似计算公式 Δy≈dy=f′(x0)Δx.或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx 上式中，令x=x0+Δx，则 f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx.? 利用公式f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx，当|x|很小时，可以得到工程上常用的近似公式： （1）； （2）sinx≈x（x用弧度作单位）； （3）tanx≈x（x用弧度作单位）； （4）ex≈1+x； （5）ln(1+x)≈x.?例4有一种金属圆片，半径为20cm，加热后半径增大了0.05cm,那么圆的面积增大了多少？解：圆面积公式为cm是比较小的，所以可以用微分来近似代替。 因此，当半径增大了0.05cm时, 圆的面积增大了。例5 计算的近似值。解：设,则.().由式得?例6 计算的近似值。解：设,由式得?小结