同济大学高数备课教案习题课1_1.ppt

* 习 题 课 一、极限定义 本 章 要 点 二、极限的运算法则, 两个重要极限 一、极限定义 数列的极限 当 时，有 函数的极限 ⑴ 当 时，有 ⑵ 当 时，有 单侧极限 定理 当 时，有 当 时，有 定理 当 时，有 当 时，有 设 则 ⑴ ⑵ ⑶ 若 二、极限运算法则, 两个重要极限 ⑷设 且 时， ，则 极限存在准则 准则1（夹逼定理） 设函数 在 的 ⑴ ， 准则2 单调有界数列必有极限. 某一邻域内满足: ⑵ ，则 两个重要极限 例 题 选 讲 例1 证明 证 ，因为 当 时， 当 时 即 ? 故, 取 ， 当 时，有 只要 当 时 例2 证明 证 ，因为 当 时， ，故 当 时 令 即 当 时，有 ? 当 时 例3 设 ，证明 因 证 因为 ， 故 当 时，有 因 中仅有有限项, 故当 充分大时有 即存在正整数 ，当 时，有 而第二项 因此，有 分子中的每一项都满足 ，且项数不超过 ， 即 ? 由此, 取 ，当 时，有 当 时 当 时 例4 设数列 满足 ，其中 证 由条件, 得 易知 由夹逼定理，得 ．证明: ? 记 ，则 例5 求下列极限 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 解 ⑴ 解法一 解法二 等价无穷小替换 ⑵ ⑶ 解法一 解法二 等价无穷小替换 ⑷ 所以 ⑸ 因为 例6 已知 ，求常数 ． 解 记 解得 ， 则 故 即 解 例7 已知 ，求 ． 此时 当 时， 当 时， 例8 求极限 解 记 则 根据夹逼准则，得 由于 *