第4节 解析函数与调和函数.pptVIP

作 业 P144 16(1)(2); 18 * 第四节 解析函数与调和函数 根据解析函数高阶导数定理, 1.Laplace算子 偏微分方程 称为Laplace方程 其中 称为Laplace算子 从以上分析知: 2. 调和函数 定义3.5 注 3. 共轭调和函数 注 (1)定义3.6 (2)定理3.18 (3)刻划解析函数又一等价条件 注 注: 由于任意二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数. 例1 证明 由于 但直线不是区域, 例2 证明 由于 从而 4. 解析函数的构造 由数学分析的定理知, 方法一:应用曲线积分 全微分, 令 则 注: 定理3.19 注1: (3.21)可由 去记. 方法二:应用不定积分 有 有 类似有 故 注: 例3 解 有 解: 例4 解 在右半z平面上 故在右半z平面上, 故 故所求的解析函数为 第三章小结 熟练掌握柯西积分定理, 柯西积分定理,带导数的柯西积分定理. 2. 熟练掌握(一定牢记)解析函数的四个充要定理(P55定理2.4;P126定理3.15;P128定理3.17;P133注(1)). 3. 熟练运用柯西积分定理, 柯西积分定理,带导数的柯西积分定理求积分. 4. 熟练验证调和函数,并求出相应的解析函数. 5. 熟练掌握柯西积分定理证明 柯西积分定理; 熟练掌握刘维尔定理的证明与应用.