数学专题—数学建模.DOC

PAGE 1 數學專題—數學建模 主題：向量問題模型建構與推廣 淵子編授 有這樣一道數學應用問題：在哪裡建學校，可使附近的三個村子與的三位學生到學校所走路程的和最小？此問題實質為：給平面上三點，試尋求一點，使距離和達到最小。這在歷史上被稱作的費馬點問題，所求的點稱為費馬點，就是建學校的位置。問題是：費馬點該如何構造或作圖呢？ 【課前預習】費馬(P. Fermat)是何許人也？ 數學解法： 我們透過物理的概念來解決這個問題。 在物理學上，力是一種向量，諸力作用在一個點，當達到平衡時，這些力的向量總和剛好是零向量，例如：拔河比賽當雙方勢均力敵（處於平衡狀態）時，代表兩邊力量一樣大，但方向卻相反，即他們所施力量的向量和為零。 現在取一個平滑的木板，在上面依比例畫出與三個點，並在處各挖一個小洞，取三條繩子紮結於一點，穿過洞各吊掛一隻猴子，如下圖所示。 問題一：如果掛在點下方的小猴子重公斤，掛在點下方的中猴子重公斤，掛在點下方的大猴子重公斤，那麼當三股力量達到平衡時，求小猴子與中猴子拉線夾角的值。 Solution. 事實上，物理學上還有一個最小位能原理，大意是說，系統會處在總位能最小的狀態，例如：河流裡的水會往低處流，原因是越低的位置，水的總位能越小。如果將掛猴子的模型調整為三隻猴子重量都一樣，那麼這樣的模型會有怎樣的意義呢？  在上述物理模型中（三隻猴子的重量都一樣），考慮底下四個問題： 當三股力量處於平衡狀態，而且點處於△的內部時，利用力的向量和為零的觀念，求角度的大小。 當三股力量處於平衡狀態，而且點處於△的內部時，利用最小位能原理解釋：此時的點會讓最小。 如何以尺規作圖求出上述平衡點？或者說，作出讓到三頂點之和為最小的費馬點。 Solution. 【問題討論】 (1)此點可不可能在三角形外 (2)何時點會落在△的邊上。 【問題延伸與推廣】 1.三邊分別為a,b,c，面積為S，P為其費馬點，則 2.費馬問題推廣到二次線段： 當所在平面上的點P為的重心時，有最小值。 3.設為平面上n個點，則當P為這n個點的重心時，有最小值。