第一部分专题四第三讲空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用).pptVIP

本例中，第(1)问线线垂直的证明转化为证明线面垂直再得线线垂直，这是常用方法．第(2)问二面角的得出实际是利用定义得出的．对于第(3)问要充分利用线面平行与面面平行去分析判断，解题过程中要注意步骤的完整性，以 防丢失步骤分．第(3)问有许多学生盲目猜测SE∶EC＝1即E 为SC的中点，则不加以证明导致丢分． 解：如右图所示，设AC，BD交于点O， 连接OP，易证BD⊥平面SAC， ∴∠BPO为BP与平面SAC所成的角， ∵点O，P分别是AC、SC的中点， 等价转化思想 [例4]　(2010·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D 为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1. (1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； (2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角 A1－AC1－B1的正切值． [解]　(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1 的交点为F. 因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1， 且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1， 又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. 作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知G为AB中点． 又由面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，CG⊥DE （4分） 连结DG，则DG∥AB1， 故DE⊥DG，DE⊥平面CGD，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线． (9分) [解法心得]　空间角的求法首先要把它转化为平面角，然后利用解三角形的有关知识求出它，这就淋漓尽致地体现了转化的思想、数形结合的思想，充分地展示了空间图形与平面图形的相互转化应用．本例中(2)二面角的作出，是抓住了定义即作棱的垂线得出的． (2010·潍坊模拟)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC ＝AA1＝BC＝2. (1)若D为AA1的中点， 求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长． (2)由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1， 在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD， 交CD或其延长线于E，连接EB1， 可知∠B1EC1为二面角B1－DC－C1的平面角， ∴∠B1EC1＝60°. 由B1C1＝2知， 点击此图片进入专题训练 * 高考对空间角的考查主要是异面直线所成角、线面角、二面角这三类角.它们对空间想象能力和等价转化能力要求较高，主要涉及空间向平面的转化.运算技巧及解三角形的一些方法.这类问题在命题形式上也较为灵活，复习时要注重知识与能力的全面结合. 答案：D 2．(2010·四川高考)如图，二面角α－l－β 的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB 与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值 是________． 1．异面直线所成角 (1)定义 (2)范围θ∈(0,90°] (3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的 角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求． 2．直线与平面所成的角 (1)定义． (2)范围：θ∈ ． (3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的 直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射 影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解 这个角所在的直角三角形可得． [0°，90°] 3．二面角 (1)二面角的取值范围：θ∈ ． (2)找二面角平面角的方法 ①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法． [0°，180°] 用定义法求异面直线所成的角主要步骤： (1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为 相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点． (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角． (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形， 并解之． (4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°＜θ ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异 面直线所成的角． [例1]　(2010·湖南高考)如图所示， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB ＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． (1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M. [思路点拨]　(1)由C1D1∥B1A1可知∠MA1B1为所求． (2)证明BM⊥面A1B1M.