必威体育精装版高等数学概念题目及反例练习题合集（含答案）.docVIP

PAGE PAGE 1 必威体育精装版高等数学概念题目及反例练习题合集（含答案） 一、判断下面命题是否正确： 1、初等函数在其定义域内必可导。 答：非。如 2、连续函数除去可能有几个特别点之外处处可导。 答：非。 3、若f(x)在点a不可导，则曲线y=f(x)在（a,f(a)）点处必无切线。 答：非。 4、若曲线y=f(x)处处有切线，则函数f(x)必处处可导。 答：非。如 5、若f(x)+g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处必皆可导。 答：非。如 在x=0处。。 6、若f(x)g(x)在c处可导，则f(x)与g(x)在c处皆可导。 答：非。如 在x=0处 7、若f(x)、g(x)在c都不可导，则f(x)+g(x)、f(x)g(x)在c必不可导。 答：非。 8、若f(x)在c可导，g(x)在c不可导，则f(x)g(x)在c必不可导。 答：非。 9、若函数在（a,b）内可导，则其反函数在相应点必定可导。 答：非。如在处 可导，而反函数x=arcsiny在相应y=1处导数不存在。 10、若f(x)在处不可导，在处可导，且，则 在处必不可导。 答：非。如 函数在u=0处不可导，在x=0处可导，而 在x=0处却可导。 11、若f(x)在处不可导，在处也不可导，且，则在处必不可导。 答：非。如在u=0处不可导， 在x=0处不可导，而 其中 所以在x=0处可导。 12、若在处可导，在处不可导，且，则 在处必不可导。 答：非。如在u=0处可导，在x=0处不可导，但 在x=0处却可导。 13、若存在，则在的某邻域内必存在使可导。 答：非。如在x=0. 14、举例说明罗尔定理中的三个条件缺一不可。 答：如下面三个函数 ， 15、若函数f(x)为（a,b）内的严格单调递增函数，且f(x)在（a,b）内可导，是否必有 答：不一定。如 16、若f(x)与g(x)在（a,b）内皆可导，且f(x)g(x),在（a,b）内是否必有 答：不一定。如 17、单调可导函数的导数必定是单调函数。 答：不一定。如 18、若导函数单调，函数是否必单调。 答：不一定。如 19、若在c的某一邻域内，f(x)是否必为单调增加函数。 答：不一定。如 显然 但是，当时， 在处， 而在处， 当k足够大时， 可以与x=0充分接近，可见在x=0的任何邻域在，函数f(x)的导数有时为正，有时为负，故非单调。 20、若a为f(x)的极大值点，则必定存在a的某一邻域，在该邻域内，函数在a的左侧单调增加，而在右侧单调减少。 答：非。如 21、判定是否正确？ 答：不正确。 22、判定命题是否正确：若f(x)在某一区间内不连续，则在该区间内f(x)必无原函数。 答：不正确。如 由于x=0是f(x)的第二类间断点，故f(x)在[-1,1]不连续，但是f(x)具有原函数 23、若f(x)与g(x)在[a,b]上都可积，则f[g(x)]在[a,b]上必定可积。 答：非。如 （其中p,q为互素的自然数，且），都是[0,1]上的可积函数，而 在[0,1]上却不可积。 24、若|f(x)|可积，则f(x)必可积。 答：非。如 25、若f(x)在（a,b）内有原函数，则f(x)在[a,b]上必可积。 答：非。如 若f(x)在[a,b]上有原函数，则f(x)在[a,b]也不一定可积。 如在[-1,1]上有原函数 但f(x)在[-1,1]无界，故不可积。 26、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在(a,b)内必定有原函数。 答：非。如在上可积，即 而在内却不存在原函数。证明如下： 若F(x)为在内的原函数，则有原函数的定义， 因而F(x)在内必连续。 任取则F(x)在内满足拉格朗日定理条件，从而可以证明 ，矛盾。 27、一般地，不能从求得，只有在处连续，且存在时，才有否则要用导数的定义或可导的必要条件来判断。如 ，可以求得 显然但不存在，因为f(x)在x=0不连续。 的几何意义表示曲线的弦的斜率当M点沿着曲线趋近于时的极限；而的几何意义表示曲线在M(x,y)点的切线MT的斜率当M点沿着曲线趋近于时的极限。所以二者未必相等。 二、结果 28、二元函数在一点不可微，但沿任意方向的方向导数仍可存在。 29、二元函数在一点的两个偏导数都存在，且在该点的各方向导数都存在，函数在该点也不一定可微。 如 30、若f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在，则f(x)g(x)的极限不一定。 31、若在一点f(x)与f(x)g(x)的极限都存在，则g(x)的极限不一定存在。 如： 32、设f(x)和g(x)