高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式当堂达标北师大版选修.docVIP

PAGE 1.3　平均值不等式 1．已知a＞0，则a＋eq \f(1,a)与2的大小关系是(　　) A．a＋eq \f(1,a)≥2　　　　　 B．a＋eq \f(1,a)＞2 C．a＋eq \f(1,a)≤2 D．a＋eq \f(1,a)＜2 解析：因为a＞0， 所以a＋eq \f(1,a)≥2，当且仅当a＝eq \f(1,a)， 即a＝1时取等号． 答案：A 2．已知a，b为非零实数，那么下列不等式恒成立的是(　　) A．|a＋b|＞|a－b| B．eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 解析：a，b为非零实数时，A，B， D三项中的不等式均不一定成立，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2≥0恒成立，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab恒成立． 答案：C 3．已知a，b，c是△ABC的三边，则“b既是a，c的算术平均值，又是a，c的几何平均值”是“△ABC为正三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由b既是a，c的算术平均值，又是a，c的几何平均值，可知b＝eq \f(a＋c,2)，b＝eq \r(ac). 所以eq \f(a＋c,2)＝eq \r(ac). 因为eq \f(a＋c,2)≥eq \r(ac)，当且仅当a＝c时取等号， 所以a＝c.又b＝eq \f(a＋c,2)， 所以a＝b＝c，即△ABC为正三角形． 反之亦成立． 答案：C 4．设0＜a＜b，则a，b，eq \r(ab)，eq \f(a＋b,2)的大小关系为____________. 解析：因为0＜a＜b，所以由平均值不等式，得eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2).又a＜b，所以eq \f(a＋b,2)＜eq \f(b＋b,2)＝b，a＝eq \r(a2)＜eq \r(ab).故a＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)＜b. 答案：a＜eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)＜b 5．已知a＞1,0＜b＜1，求证：logab＋logba≤－2. 证明：∵a＞1，0＜b＜1，∴logab＜0，logba＜0. ∴－logab＞0，－logba＝－eq \f(1,logab)＞0. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－logab))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,logab)))≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－logab))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,logab))))＝2， 当且仅当a＝eq \f(1,b)时取等号． ∴logab＋logba≤－2.