量子力学讲义第10章.doc

PAGE 第三篇 对称性与不变性 对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性→牛顿力学的基石之一。 洛仑兹变换下的不变性→相对论的基石之一。 对称性←→守恒律（量） 21世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称 ~ “矛盾”？！（参见李政道《物理学的挑战》） 本篇主要内容：1、转动对称性问题~自旋与角动量； 2、粒子交换对称性问题~全同粒子问题； 3、时空交换对称性问题~对称性与守恒律问题。 第八章 自旋与角动量 8.1 电子自旋 1925年实验提出→1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。 自旋 ~ 描述微观粒子特征的基本物理量。 关于自旋的实验事实（原子物理已讨论） 纳黄线的精细结构；②复杂（反常）塞曼效应；③斯特恩-盖拉赫实验。 →为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）。 二、乌伦贝克-哥德斯密特假设 每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上（取作z轴）的投影只能取两个值 。 每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为 。 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率： ~ 朗德因子。 与轨道角动量的回转比率比较： ~ 朗德因子，知。 注意：轨道角动量有经典对应 ~ ，自旋角动量没有经典对应。如果设想为经典自转→违背相对论。 自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念） 8.2 自旋算符与自旋波函数 问题：自旋算符如何定义？自旋如何描述？ 基本思路 ~ 由对易关系定义算符。 （无经典对应） 已知“轨道”： 。 一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值 定义： 实验表明：。 类比： ~角量子数。 有 ~自旋量子数。 二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值 令 ~泡利算符 。 反对易关系： 。 易知 三、自旋算符在表象的矩阵表示 表象中 。 现在求： 令 ①： 。 ②： 。 ③： ， 取最简形式，有 。 ④。 这样自旋算符的矩阵表示就全部求出： 相应的泡利矩阵为： 四、电子自旋波函数 取-表象： 有 即 ， 。 取有 ， 构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成 。 其中，~ 电子自旋向上的几率；~电子自旋向下的几率。归一化要求有 。 引导学生自学教材P290-293的例题1-3。 例：教材P294 例4。（只讲思路，不讲计算细节） 求的本征函数和本征值。求该本征态中的可能值、相应几率和平均值。 解： 。 本征值方程为 。 由久期方程 。 将代入方程求a，得 由归一化条件，得 。于是有 。 同理得 。 将用展开 ， 的几率；的几率。于是有 。 同理讨论的相关问题。 作业：习题8.2、2，3，4，6。 8.3 泡利方程 磁共振 （重点讲清思路，不推导细节） 一、考虑自旋后的电子波函数 将用展开，系数为的函数： 。 二、考虑自旋后的力学量算符 一般形式： 。 三、泡利方程 将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况。 自旋磁矩 ~ 泡利方程。 四、用分离变量法求解泡利方程 令 。 设 ~定态。 （关于，前面已经讨论，本章注意力在自旋问题） 五、顺磁共振和核磁共振 1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动： ~ 守恒，电子的自旋状态要发生变化（高能态低能态），必然要与外界交换能量。 2、再加上正弦场： 。 令 ，由 可得 。 3、电子自旋共振： 若t=0时，电子处于自旋向下态，即 。 当外场（称为拉莫频率）时，有 。 此式表明，当 时，电子自旋向上的几率为1，自旋向下的几率为0。 比较： → → z轴反转，能级跃迁。 → 可见，在半周期，与外界交换能量。 这种在静磁场作用下，电子的磁能级分裂，并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象，称为电子自旋共振。 可用类似的方法讨论核磁共振（自学教材或参考有关文献）。 8.4 角动量算符的基本性质 （一般性讨论 ~ 代数法的实例） 一、角动量算符的定义式： 。 二、角动量算符的本征值谱 设 1、引入新算符 一系列对易关系 ~ 见教材P307 （9）（10）（11）。由此可得 2、的本征值为 设m的上限为j，则 。 相邻的：