研究生矩阵理论第一章矩阵相似变换.ppt

矩阵理论 成都信息工程学院 李胜坤 令 那么 其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足 (上三角矩阵) 注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值. 试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵. 解: 首先求矩阵 的特征值 例: 已知矩阵 所以 为矩阵 的三重特征值. 当 时, 有单位特征向量 再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量 再解与 内积为零的方程组 求得一个单位解向量 取 计算可得 再求矩阵 的特征值 所以 为矩阵 的二重特征值. 当 时, 有单位特征向量 令 再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量 取 计算可得 令 于是有 矩阵 即为所求的酉矩阵. 正规矩阵 定义: 设 , 如果 满足 则 那么称矩阵 为一个正规矩阵. 设 , 如果 同样满足 那么称矩阵 为一个实正规矩阵. 例: (1) 为实正规矩阵 * 1.1 特征值与特征向量 第一章 矩阵的相似变换 定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使 ，则 叫做 的特征值， 叫做 的属于 特征值 的特征向量。 （3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。 （1）一个特征向量不能属于不同的特征值。 （4） 设 是 的 个互不同的特征值， 的几何重数为 ， 是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量 仍然是线性无关的。 （5）设 阶方阵 的特征值为 ， 则 1.2 相似对角化 定义：设 ，若存在 使得 则称 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。 定义：设 ，如果 相似于一个对角 矩阵，则称 可对角化。 定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是 每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 例1 判断矩阵 是否可以对角化？ 定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要 条件是 有 个线性无关的特征向量。 于是的特征值为 （二重） 由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑 解： 先求出 的特征值 于是 从而不相似对角矩阵，不能对角化。 1.3 Jordan标准形介绍 1.4 Hamilton-Cayley定理 1.5 向量的内积 内积的性质： 解： 根据定义可知 例 在 中求下列向量的长度 定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量 是单位向量，称此过程为单位化。 定义：如果 ，则称 与 正