幂级数及其应用论文.doc

PAGE \* MERGEFORMAT2 . 学年论文（本科） 论文题目 幂级数及其应用 目 录 摘 要………………………………………………………………………1 关键词………………………………………………………………………1 Abstract ……………………………………………………………………1 Keywords……………………………………………………………………1 前 言………………………………………………………………………1 1.幂级数的定义……………………………………………………………2 2.幂级数的收敛区间和收敛半径…………………………………………2 3.幂级数的运算……………………………………………………………4 3.1幂级数在求导数中的应用………………………………………………4 3.2幂级数在求极限中的应用………………………………………………5 3.3幂级数在计算级数和中的应用…………………………………………5 3.4幂级数在求微分方程中的应用…………………………………………6 总结…………………………………………………………………………7 参考文献……………………………………………………………………7 幂级数及其应用 摘 要：本文主要介绍了幂级数的定义、收敛区间、运算及其应用。 关键词：幂级数；收敛区间；应用 Power series and its application Abstract：This paper mainly introduces the definition,convergence interval,operation and application of the power series. Key words：power series；convergence interval；application 前言 在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数，而正项级数在各种数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数。级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 1.幂级数的定义 在引进幂级数定义之前,先介绍一下函数项级数的概念.设是定义在数集E上的一个函数列,表达式 称为定义在E上的函数项级数,简记为或. 定 义 由幂函数序列 所产生的函数项级数 (1) 称为幂级数，是一类最简单的函数项级数.从某种意义上,它可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用,特别是在应用它表示函数方面. 下面将着重讨论,即 (2) 的情形,只要把（2）中的换成,就得到（1）. 2.幂级数的收敛区间和收敛半径 定理2.1（阿贝尔定理） 若幂级数（2）在,则处收敛,则对满足不等式的任何,幂级数（2）收敛,而且绝对收敛;若幂级数（2）在处发散,则对满足不等式的任何,幂级数（2）发散. 证：设级数收敛,从而数列收敛于零且有界,即存在某整数M，使得 另一方面对任意一个满足不等式的,设 ， 则有 . 由于级数收敛,故幂级数（2）当时绝对收敛. 现在证明定理的第二部分.设幂级数（2）在处发散,如果存在某一个,满足不等式,使级数收敛.则知道级数（2）在处绝对收敛,与假设矛盾,故一切不满足不等式的,幂级数（2）都发散. 由此定理知道:幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间.若以2R表示区间长度，则称R为幂级数的收敛半径.也是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以 当R=0时,幂级数（2）仅在处收敛； 当时,幂级数（2）在上收敛； 当时,幂级数（2）在上收敛;对一