挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题.doc

. .. 教师： 学生： 时间：2017年 月 日 课题内容 平行四边形存在性问题 专题攻略 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使 计算又准又快. 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为 三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点. 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况. 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便. 典型例题 例1．如图，抛物线：y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2） （1）求过A、B、C三点的圆的半径． （2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标． （1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，﹣2），∴AB=3﹣（﹣1）=4， AC==2，BC==2，∴AB2=16，AC2+BC2=8+8=16， ∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2； （2）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等， ∴点P的横坐标为4或﹣4，∴y=×42﹣4﹣=，或y=×42+4﹣=， ∴点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）， ②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，∴PE与x轴的交点坐标D（1，0）， 过点P作PF⊥AB，则OD=FD，∴点F的坐标为（2，0），∴点P的横坐标为2， y=×22﹣2﹣=﹣，∴点P的纵坐标为，∴点P、E的坐标为P3（2，﹣）、E3（0，）， 综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（﹣4，）、E2（0，）或P3（2，﹣）、E3（0，）． 例2．将抛物线沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示． （1）请直接写出拋物线c2的表达式． （2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E． ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 方法一： （1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式； （2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解； ②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出． 方法二： （1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式． （2）①抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值． ②以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，则AN⊥EN，利用黄金法则二，可求出m的值． 【解答】方法一： 解：（1）y=x2﹣． （2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1 则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）． ∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）． 当AD=AE时，（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]， ∴m=． 当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2． 故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2． ②存在． 理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）． 即M，N关于原点O对称，∴OM=ON． ∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE ∴四边形ANEM为平行四边形． ∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4， AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1， 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°． ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形． 方法二： （1）略， （2）①抛物线C1：y=﹣x2+， 与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=﹣x2﹣， 与x轴的两个交点也为（﹣1，0