高等数学常用概念及公式.doc

高等数学常用概念及公式 极限的概念 当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x0（x→x0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x0时，以常数A为极限，记作： SKIPIF 1 0 f(x)=A 或 SKIPIF 1 0 f(x)=A 导数的概念 设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx＝x- x0，函数有增量Δy=f(x)-f(x0)，如果增量比 SKIPIF 1 0 当Δx→0时有极限，则称函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f’(x0)，即 f’(x0)＝ SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 也可以记为y’=|x=x0， SKIPIF 1 0 |x=x0或 SKIPIF 1 0 |x=x0 函数的微分概念 设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+Δx都在此区间内，如果函数的增量 Δy=f（x+Δx）-f(x)可表示成 Δy=AΔx+αΔx 其中A是常数或只是x的函数，而与Δx无关，α当Δx→0时是无穷小量( 即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而AΔx叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即： dy=AΔx=f’(x)dx 不定积分的概念 原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。 SKIPIF 1 0 不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作 SKIPIF 1 0 求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。 其中“ SKIPIF 1 0 ”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。 定积分的概念 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，用分点 a=x0x1x2…xi-1xi…xn-1xn=b，把区间[a，b]任意分成n个小区间[xi-1，xi]（i=1,2, …,n）每个小区间的长度为Δxi= xi- xi-1（i=1,2, …,n），在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi，作和式 In= SKIPIF 1 0 当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δxi}→0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间[a，b]叫积分区间，x为积分变量。 极限的性质及运算法则 无穷小的概念：若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，则称f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。 无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。 无穷大的概念：若当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。 无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则 SKIPIF 1 0 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 SKIPIF 1 0 就为无穷大。 极限运算法则： 法则1：lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A·B 特别的：lim cf(x)=c·lim f(x)=c·A (c为常数) 法则3：lim SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 （其中B≠0） 注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中