数学建模最终定稿.doc

A题：铁皮罐下料问题 一、问题分析： 针对问题一，生产一定量的铁皮罐，且上下盖圆板和侧面矩形板都在规格为2 ×1的铁皮上冲压或切割出来（不在同一铁皮上混合下料），要使得用料最省，则要考虑如何分配用作圆料和长方形的铁皮数。 针对问题二：大规模生产时，只考虑节省原料问题。（可以在同一张铁皮上混合下料）所以首先考虑在平均情况下使每张铁皮生产的铁罐个数达到尽可能多，或每张铁皮的损耗更少。 针对问题三：实际生产中，零件与零件的连接大部分要考虑接口处的损耗，所以实际生产中要对大部分连接零件预留接口，这就使实际部件尺寸比理想的稍大哦，所以在建立模型时要考虑在某些参数不变的情况下刻意增大某些量。 模型假设： 1、在封闭的环境下冲压或切割，忽略外界气压、温度等的影响。 2、忽略铁皮的厚度影响。（实际情况改进时再考虑） 3、下料时，图形互不重叠，即图形边界线不得相交。 4、理想切割或冲压，即不会产生裁剪毛边且相切图形可以沿切线准确裁剪，并且不会 出现造成铁皮损坏等工艺上的失误。 5、不考虑预留接口。（问题三另作考虑） 6、所有铁皮罐规格相同。 三、变量符号说明 符号 对象 单位 r 圆柱形铁皮罐上盖和下底的半径 m d 圆柱形铁皮罐上盖和下底的半径 m h 圆柱形铁皮罐的高 m S 圆柱形铁皮罐的表面积 平方米 V 圆柱形铁皮罐的体积 立方米 a 铁皮长度 m b 铁皮宽度 m N 一张铁皮可做出的圆板数 正整数 N4 4切圆时的圆板数 正整数 N6 6切圆时的圆板数 正整数 Nm 一张铁皮可做出的矩形板的数量 正整数 π 圆周率，取3.1416 模型建立： 4.1、问题（1）： 分析：生产一定量的铁皮罐，且上下盖圆板和侧面矩形板都在规格为2X1的铁皮上冲压或切割出来（不在同一铁皮上混合下料），要使得用料最省，则要考虑如何分配用作圆板和矩形板的铁皮数。为此，需要先建立两个子模型（切割圆板最优模型和切割矩形板最优模型）并先利用铁皮罐表面积最小缩小半径r的取值范围。 4.1.1、切割圆板模型的建立 1、假设： a、理想切割，即可使圆与圆彼此相切； b、每个圆（除在铁皮边缘的圆）之间接触的形式（每张铁皮上的圆只能有一种接触形式）为： （1）与4个圆相切。 （2）与6个圆相切。 建立模型与数学求解： 每个圆与4个圆相切的形式 每个圆与6个圆相切的形式 每个圆与4个圆相切时：若a2nr可得到n列圆（n只能为正整数），所以列数n就是a/2r的整数部分[a/2r]。同理可知，行数为b/2r的整数部分[b/2r]。故一张铁皮可得圆板总数为 N=[a/2r]*[b/2r]。 每个圆与6个圆相切时：当铁皮长度a是r的奇数倍(2n+1)r，则在a增大到(2n+2)r足以再容纳一个圆板前，每行可有n个圆板;a增大到（2n+2）r时,各行交替为n+1个和n个;a再增大到（2n+3）r不到（2n+4）r时每行就能包含n+1个圆板。 若共有x行，则x必须满足2r+ (x-1)rb,因x只能是整数，所以x=[（b-2*r）/(√3 *r)]+1。在每行有n个圆板的情况下，圆板总数N=nx,由条件（2n+1）r=a(2n+2)r得n=([a/r]-1)/2. 因此， N=1/2([a/r]-1)[（b-2*r）/(√3 *r)+1]. 当各行为n+1和n个圆板交替出现时，分开考虑行数为偶数和奇数情况。x为偶数时，有n+1个和n个圆板的行数各为x/2行；当x为奇数时有n+1个和n个圆板的行数分别为（x+1）/2行和（x-1）/2行,n也必须满足（2n+2）r=a(2n+3)r.所以n=([a/r]-2)/2。故当x为偶数时，圆板总数N=x(n+1/2)；x为奇数时，N=x(n+1/2)+1/2。 （根据题目要求，模型中a=2,b=1） （说明：因为对于相同大小的圆来说，外切正六边形比外切正方形面积更小，所以对于同一参数来说，虽然可能切出相同数目的圆板，但外切正六边形损耗更少，即一般来说每个圆与6个圆相切的方式原料的利用率更高） 4.1.2、切割矩形板模型的建立 1、假设： 理想切割，即切割线就是两个矩形的边。 分析： 生产原料是规格为2*1的矩形铁皮材料，若在此原料上切割出尽可能多的相同规格的小矩形，显然不能斜着切。所以切割方向只能是横向或纵向。而对每种切割方向，小矩形的放置方式又可以有两种：纵向放置或横向放置，故共有四种切割方式，如下图所示： （方式1）大矩形横向切割，小矩形纵向放置 （方式2）大矩形横向切割，小矩形横向放置 （方式3）大矩形纵向切割，小矩形纵向放置 （方式4）大矩形纵向切割，小矩