2019重庆邮电大学矩阵分析试题及答案.doc

第一套试题 一（10分）、设是数域F上的线性空间的线性变换，，，分别为的三个互不相同的特征值，，的特征向量。 （1）证明：，，是线性无关的； （2）证明：++不是的特征向量。 二（10分）、求矩阵 的Smith标准形。 三（10分）、求矩阵 的Jordan标准形. 四（12分）、设有正规矩阵，试求酉矩阵，使为对角阵。 五（10分）、设。 验证： 六（12分）、验证矩阵为正规矩阵，并求的谱分解。 七（14分）、设。计算 （1）的谱半径； （2），，； （3）设，证明：，其中是的任何一种范数。 八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。 （1）， （2） 九（10分）、在以下题目中任选一个。 设有Hermite矩阵试证：是正定的充要条件，是存在可逆矩阵使 试证：矩阵相似于矩阵，其中为非零常数, 为任意常数. 设为一个阶矩阵且满足，证明：相似于一个对角矩阵。 第一套试题答案 一（10分）、 证明：（1）设++=0， ① 用作用式①两端，有++=0 ② ①-②，有 ③ 再用作用式③两端，有 ④ ③-④，有。 由于互不相等，，因此，将其代入④，有，利用①，有。故，，是线性无关的。 （2）用反证法。假设++是的属于特征值的特征向量，于是有 即 由于，，线性无关，因此，这与互不相等矛盾。所以，++不是的特征向量。 二（10分）、 解: 三（10分）、 解: ， 。 四（12分）、 解：令 解齐次方程组 解齐次方程组 解齐次方程组 五（10分）、 解：； 又 ，； 显然 六（12分）、 解：由于，所以是正规矩阵。 由 得的特征值为 。 属于特征值的正交单位特征向量为 ；属于的单位特征向量为。 因此 的正交投影矩阵为 ； 所以的谱分解为 七（14分）、 解：的特征多项式为，则特征值为，。 （1）的谱半径为。 （2）容易计算的1—范数为 ； 的—范数为 ； 因为 ， 则的特征多项式为 ， 所以的特征为，，故的2—范数为 。 （3） 证明：设的特征值是，对应的特征向量为，则，。 两边取范数，得 ， 从范数的相容性，得 ， 因为，则，这样 。 由于上式对任意的特征值都成立，故 。 八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。 解：（1）设，则的特征值为，， 从而的谱半径为。 因为幂级数的收敛半径为， 则，从而是发散的。 （2），则的特征值为，， 从而的谱半径为。 因为幂级数的收敛半径为， 则，故是绝对收敛的。 九（10分）、在以下题目中任选一个。 证： 必要性： 充分性：因为是Hermite矩阵，所以是正规矩阵，因此存在酉矩阵使 又正定，所以都大于0；因此 则 （2）证: , , 显然 的行列式因子为:， 的行列式因子为:， 于是 与具有相同的行列式因子, 从而 （3） 证：设是的任意一个特征值，是的属于特征值的特征向量，即，那么由，可得，于是的特征值为2和3. 注意到,所以.另一方面， 所以，。 设，则。于是的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。 再看的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。 由于不同特征值的特征向量线性无关，因此有个线性无关的特征向量，于是可对角化。 整理范文，仅供参考 欢迎您下载我们的文档 资料可以编辑修改使用 致力于合同简历、论文写作、PPT设计、计划书、策划案、学习课件、各类模板等方方面面，打造全网一站式需求 觉得好可以点个赞哦 如果没有找到合适的文档资料，可以留言告知我们哦