同济大学高等数学第七版1.5 极限的运算法则.pptVIP

例6 解 例6 解 * 为非负常数) 结论 ： 注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。 “ 抓大头” 例7 解 先变形再求极限. 拆项相消 例8 解 (利用无穷小的性质) =0 三、 复合函数的极限运算法则 定理6： * 解: 令 则 ∴ 原式 = 例9. 求 复合函数求导 （变量代换） * 练习. 求 分母有理化 解: * 练习 解: 原式= 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 要求分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去公因子， 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 命题 两个无穷小的和还是无穷小 . 直观记忆：0+0=0 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 定理1：有限个无穷小之和仍为无穷小 . 同理可证：三个无穷小之和也是无穷小 . 用数学归纳法可证: 直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。 定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. * 常见的有界函数 * 注意： 也有界 记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。 * 定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 ! 问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？ 说不清楚，有各种可能 D P45 第4题 * 定理3 二. 极限的四则运算法则 则 若 * 推论 1 . 推论 2 . * 注意：极限的四则运算法则成立的条件为： 参与四则运算的各项的极限都存在！ 定理 4. * 极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的） * 结论： 设多项式 则有 * 解 例 2. 结论： 设有理分式函数 则有 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例3 先求其倒数的极限 结论： 解 例4 消去零因子法 例5 例5 结论： 1. 2. 3. 4 * 练习1. 解: * 解: x = 1 时 分母=0 , 分子≠0, 但因 练习2. 解： 通分 练习3. 解: 原式 练习4 例6 解 “ 抓大头”